MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Unicode version

Theorem gsumbagdiag 18535
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 13816 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, x, y, F   
f, G, j, k, x, y    x, V, y    f, I, x, y    ph, j, k    S, j, k, x    B, j, k    D, j, k, x, y    f, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    B( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2429 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumbagdiag.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 psrbagconf1o.1 . . 3  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
5 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
7 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 18531 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
95, 6, 8syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
104, 9syl5eqel 2521 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
11 ovex 6333 . . . 4  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
127, 11rab2ex 4579 . . 3  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V
1312a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
14 gsumbagdiag.x . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
15 xpfi 7848 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
1610, 10, 15syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
17 simprl 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
187, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 18534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) } ) )
1918simpld 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  k  e.  S )
20 brxp 4885 . . . . 5  |-  ( j ( S  X.  S
) k  <->  ( j  e.  S  /\  k  e.  S ) )
2117, 19, 20sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) k )
2221pm2.24d 137 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
2322impr 623 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
247, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 18534 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
2518, 24impbida 840 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  S  /\  k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  <->  ( k  e.  S  /\  j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) ) )
261, 2, 3, 10, 13, 14, 16, 23, 10, 25gsumcom2 17542 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   "cima 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307    oFcof 6543    oRcofr 6544    ^m cmap 7480   Fincfn 7577    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298  CMndccmn 17365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-cntz 16922  df-cmn 17367
This theorem is referenced by:  psrass1lem  18536
  Copyright terms: Public domain W3C validator