MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Unicode version

Theorem gsumbagdiag 17423
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 13236 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, x, y, F   
f, G, j, k, x, y    x, V, y    f, I, x, y    ph, j, k    S, j, k, x    B, j, k    D, j, k, x, y    f, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    B( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumbagdiag.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 psrbagconf1o.1 . . 3  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
5 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
7 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 17418 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
95, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
104, 9syl5eqel 2522 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
11 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1211rabex 4438 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
137, 12eqeltri 2508 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1413rabex 4438 . . 3  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
16 gsumbagdiag.x . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
17 xpfi 7575 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
1810, 10, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
19 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
207, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 17422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) } ) )
2120simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  k  e.  S )
22 brxp 4865 . . . . 5  |-  ( j ( S  X.  S
) k  <->  ( j  e.  S  /\  k  e.  S ) )
2319, 21, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) k )
2423pm2.24d 143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
2524impr 619 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
267, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 17422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
2720, 26impbida 828 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  S  /\  k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  <->  ( k  e.  S  /\  j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) ) )
281, 2, 3, 10, 15, 16, 18, 25, 10, 27gsumcom2 16455 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   "cima 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  CMndccmn 16268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-cntz 15826  df-cmn 16270
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17424
  Copyright terms: Public domain W3C validator