MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumbagdiag Structured version   Unicode version

Theorem gsumbagdiag 17572
Description: Two-dimensional commutation of a group sum over a "triangular" region. fsum0diag 13365 analogue for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiag  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, x, y, F   
f, G, j, k, x, y    x, V, y    f, I, x, y    ph, j, k    S, j, k, x    B, j, k    D, j, k, x, y    f, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    B( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsumbagdiag
StepHypRef Expression
1 gsumbagdiag.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumbagdiag.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 psrbagconf1o.1 . . 3  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
5 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
7 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
87psrbaglefi 17567 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
95, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
104, 9syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
11 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1211rabex 4554 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
137, 12eqeltri 2538 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1413rabex 4554 . . 3  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V
1514a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
16 gsumbagdiag.x . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
17 xpfi 7697 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
1810, 10, 17syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
19 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
207, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 17571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) } ) )
2120simpld 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  k  e.  S )
22 brxp 4981 . . . . 5  |-  ( j ( S  X.  S
) k  <->  ( j  e.  S  /\  k  e.  S ) )
2319, 21, 22sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) k )
2423pm2.24d 143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
2524impr 619 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
267, 4, 5, 6gsumbagdiaglem 17571 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
2720, 26impbida 828 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  S  /\  k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  <->  ( k  e.  S  /\  j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  k ) } ) ) )
281, 2, 3, 10, 15, 16, 18, 25, 10, 27gsumcom2 16592 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  k
) }  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    oFcof 6431    oRcofr 6432    ^m cmap 7327   Fincfn 7423    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   NN0cn0 10693   Basecbs 14295   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501  CMndccmn 16401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-cntz 15957  df-cmn 16403
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17573
  Copyright terms: Public domain W3C validator