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Theorem gsum2dlem2 16872
Description: Lemma for gsum2d 16873. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
21fsuppimpd 7838 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
3 dmfi 7805 . . 3  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
5 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
6 res0 5268 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
75, 6syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
87reseq2d 5263 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5268 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
1110oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
12 mpteq1 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
13 mpt0 5698 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1514oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1611, 15eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1716imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
18 reseq2 5258 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1918reseq2d 5263 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
2019oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
21 mpteq1 4517 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2221oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
25 reseq2 5258 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2625reseq2d 5263 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2726oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
28 mpteq1 4517 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2928oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3027, 29eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3130imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
32 reseq2 5258 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) )
3332reseq2d 5263 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )
3433oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
35 mpteq1 4517 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3635oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
40 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
41 gsum2d.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 gsum2d.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
44 gsum2d.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
46 gsum2d.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
47 resexg 5306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
50 gsum2d.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
51 resss 5287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
52 fssres 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5350, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5453adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
55 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  F )
57 funres 5617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
602adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F supp  .0.  )  e.  Fin )
61 fex 6130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
6250, 46, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
63 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6442, 63eqeltri 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  e.  _V
65 ressuppss 6921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6662, 64, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
68 ssfi 7742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
6960, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
70 resexg 5306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  _V )
7162, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V )
72 isfsupp 7835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7371, 64, 72sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7559, 69, 74mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) finSupp  .0.  )
76 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
77 disjsn 4075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7876, 77sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
7978reseq2d 5263 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
80 resindi 5279 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
8179, 80, 63eqtr3g 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
82 resundi 5277 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
8441, 42, 43, 45, 49, 54, 75, 81, 83gsumsplit 16820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
85 ssun1 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
86 ssres2 5290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
87 resabs1 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
8885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
8988oveq2i 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
90 ssun2 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
91 ssres2 5290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
92 resabs1 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9390, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
9493oveq2i 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9589, 94oveq12i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
9684, 95syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
97 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
98 gsum2d.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  A )
99 gsum2d.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
100 gsum2d.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
10141, 42, 44, 46, 98, 99, 100, 50, 1gsum2dlem1 16871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
103 vex 3098 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
105 sneq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
106105imaeq2d 5327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
107 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
108106, 107mpteq12dv 4515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
109108oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
110109eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
111110imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
112111, 101chvarv 2000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
113112adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
11441, 43, 45, 97, 102, 104, 76, 113, 109gsumunsn 16860 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
115105reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
116115reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
117116oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
118109, 117eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
119118imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
120 imaexg 6722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
12146, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
122 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
123 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
124122, 123elimasn 5352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
125 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
12650ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
127125, 126syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
128124, 127sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
129 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
130128, 129fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
131 funmpt 5614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
133 rnfi 7807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
1342, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
135124biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
136122, 123opelrn 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )  ->  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )
137136con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )
)
138135, 137anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  ) )
)
139 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) ) )
140 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( F supp  .0.  ) ) )
141138, 139, 1403imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )
142 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
14464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
14550, 143, 46, 144suppssr 6933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( F `  <. j ,  k >. )  =  .0.  )
146125, 145syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
147141, 146sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
148147, 121suppss2 6936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  )
)
149 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
150134, 148, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
151 mptexg 6127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A " { j } )  e.  _V  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
152121, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
153 isfsupp 7835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0. 
<->  ( Fun  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) ) )
154152, 64, 153sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  /\  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
155132, 150, 154mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  )
156 2ndconst 6874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
157122, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
15841, 42, 44, 121, 130, 155, 157gsumf1o 16798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
159 1st2nd2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
160 xp1st 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
161 elsni 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
163162opeq1d 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
164159, 163eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
165164fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
166 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
167165, 166syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
168167mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
16950feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
170169reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
171 resss 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
172 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
173171, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
174 ressn 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
175 mpteq1 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
177173, 176eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
178170, 177syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
179 xp2nd 6816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
180179adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
181 fo2nd 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2nd : _V -onto-> _V
182 fof 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
183181, 182mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
184183feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
185184reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
186 ssv 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
187 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
188186, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
189185, 188syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
190 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
191 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
192180, 189, 190, 191fmptco 6049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
193168, 178, 1923eqtr4a 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
194193oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
195158, 194eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
196119, 195chvarv 2000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
197196adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
198197oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
199114, 198eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
20096, 199eqeq12d 2465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
20140, 200syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
202201expcom 435 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 26 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
20417, 24, 31, 38, 39, 203findcard2s 7763 . 2  |-  ( dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2054, 204mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   supp csupp 6903   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715  CMndccmn 16672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674
This theorem is referenced by:  gsum2d  16873
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