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Theorem gsum2dlem2 17112
Description: Lemma for gsum2d 17113. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
21fsuppimpd 7751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
3 dmfi 7718 . . 3  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
5 reseq2 5181 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
6 res0 5190 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
75, 6syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
87reseq2d 5186 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5190 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2439 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
1110oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
12 mpteq1 4447 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
13 mpt0 5616 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2439 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1514oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1611, 15eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1716imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
18 reseq2 5181 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1918reseq2d 5186 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
2019oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
21 mpteq1 4447 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2221oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
25 reseq2 5181 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2625reseq2d 5186 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2726oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
28 mpteq1 4447 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2928oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3027, 29eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3130imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
32 reseq2 5181 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) )
3332reseq2d 5186 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )
3433oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
35 mpteq1 4447 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3635oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2404 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3837imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
40 oveq1 6203 . . . . . 6  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
41 gsum2d.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 gsum2d.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
44 gsum2d.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
46 gsum2d.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
47 resexg 5228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4948adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
50 gsum2d.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
51 resss 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
52 fssres 5659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5350, 51, 52sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5453adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
55 ffun 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  F )
57 funres 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) )
5958adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
602adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F supp  .0.  )  e.  Fin )
61 fex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
6250, 46, 61syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
63 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6442, 63eqeltri 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  e.  _V
65 ressuppss 6837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6662, 64, 65sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6766adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
68 ssfi 7656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
6960, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
70 resexg 5228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  _V )
7162, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V )
72 isfsupp 7748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7371, 64, 72sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7473adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7559, 69, 74mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) finSupp  .0.  )
76 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
77 disjsn 4004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7876, 77sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
7978reseq2d 5186 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
80 resindi 5201 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
8179, 80, 63eqtr3g 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
82 resundi 5199 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
8441, 42, 43, 45, 49, 54, 75, 81, 83gsumsplit 17063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
85 ssun1 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
86 ssres2 5212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
87 resabs1 5214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
8885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
8988oveq2i 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
90 ssun2 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
91 ssres2 5212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
92 resabs1 5214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9390, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
9493oveq2i 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9589, 94oveq12i 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
9684, 95syl6eq 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
97 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
98 gsum2d.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  A )
99 gsum2d.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
100 gsum2d.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
10141, 42, 44, 46, 98, 99, 100, 50, 1gsum2dlem1 17111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
102101ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
103 vex 3037 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
105 sneq 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
106105imaeq2d 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
107 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
108106, 107mpteq12dv 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
109108oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
110109eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
111110imbi2d 314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
112111, 101chvarv 2021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
113112adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
11441, 43, 45, 97, 102, 104, 76, 113, 109gsumunsn 17100 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
115105reseq2d 5186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
116115reseq2d 5186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
117116oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
118109, 117eqeq12d 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
119118imbi2d 314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
120 imaexg 6636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
12146, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
122 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
123 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
124122, 123elimasn 5274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
125 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
12650ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
127125, 126syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
128124, 127sylan2b 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
129 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
130128, 129fmptd 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
131 funmpt 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
133 rnfi 7720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
1342, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
135124biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
136122, 123opelrn 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )  ->  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )
137136con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )
)
138135, 137anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  ) )
)
139 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) ) )
140 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( F supp  .0.  ) ) )
141138, 139, 1403imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )
142 ssid 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
14464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
14550, 143, 46, 144suppssr 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( F `  <. j ,  k >. )  =  .0.  )
146125, 145syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
147141, 146sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
148147, 121suppss2 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  )
)
149 ssfi 7656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
150134, 148, 149syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
151 mptexg 6043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A " { j } )  e.  _V  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
152121, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
153 isfsupp 7748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0. 
<->  ( Fun  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) ) )
154152, 64, 153sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  /\  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
155132, 150, 154mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  )
156 2ndconst 6788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
157122, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
15841, 42, 44, 121, 130, 155, 157gsumf1o 17041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
159 1st2nd2 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
160 xp1st 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
161 elsni 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
163162opeq1d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
164159, 163eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
165164fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
166 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
167165, 166syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
168167mpteq2ia 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
16950feqmptd 5827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
170169reseq1d 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
171 resss 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
172 resmpt 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
173171, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
174 ressn 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
175 mpteq1 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
177173, 176eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
178170, 177syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
179 xp2nd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
180179adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
181 fo2nd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2nd : _V -onto-> _V
182 fof 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
183181, 182mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
184183feqmptd 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
185184reseq1d 5185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
186 ssv 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
187 resmpt 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
188186, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
189185, 188syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
190 eqidd 2383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
191 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
192180, 189, 190, 191fmptco 5966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
193168, 178, 1923eqtr4a 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
194193oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
195158, 194eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
196119, 195chvarv 2021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
197196adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
198197oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
199114, 198eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
20096, 199eqeq12d 2404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
20140, 200syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
202201expcom 433 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 26 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
20417, 24, 31, 38, 39, 203findcard2s 7676 . 2  |-  ( dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2054, 204mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   <.cop 3950   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915   "cima 4916    o. ccom 4917   Rel wrel 4918   Fun wfun 5490   -->wf 5492   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698   supp csupp 6817   Fincfn 7435   finSupp cfsupp 7744   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848  CMndccmn 16915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917
This theorem is referenced by:  gsum2d  17113
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