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Theorem gsum2dlem2 17681
Description: Lemma for gsum2d 17682. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
21fsuppimpd 7908 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
3 dmfi 7872 . . 3  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
5 reseq2 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
6 res0 5115 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
75, 6syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
87reseq2d 5111 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5115 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
1110oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
12 mpteq1 4476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
13 mpt0 5715 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1514oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1611, 15eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1716imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
18 reseq2 5106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1918reseq2d 5111 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
2019oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
21 mpteq1 4476 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2221oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
25 reseq2 5106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2625reseq2d 5111 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2726oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
28 mpteq1 4476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2928oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3027, 29eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3130imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
32 reseq2 5106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) )
3332reseq2d 5111 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )
3433oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
35 mpteq1 4476 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3635oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3837imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
40 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
41 gsum2d.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 gsum2d.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
44 gsum2d.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4544adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
46 gsum2d.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
47 resexg 5153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4948adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
50 gsum2d.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
51 resss 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
52 fssres 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5350, 51, 52sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5453adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
55 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  F )
57 funres 5628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) )
5958adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
602adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F supp  .0.  )  e.  Fin )
61 fex 6155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
6250, 46, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
63 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6442, 63eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  e.  _V
65 ressuppss 6953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6662, 64, 65sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6766adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
68 ssfi 7810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
6960, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
70 resexg 5153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  _V )
7162, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V )
72 isfsupp 7905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7371, 64, 72sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7473adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7559, 69, 74mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) finSupp  .0.  )
76 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
77 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7876, 77sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
7978reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
80 resindi 5126 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
8179, 80, 63eqtr3g 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
82 resundi 5124 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
8441, 42, 43, 45, 49, 54, 75, 81, 83gsumsplit 17639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
85 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
86 ssres2 5137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
87 resabs1 5139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
8885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
8988oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
90 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
91 ssres2 5137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
92 resabs1 5139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9390, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
9493oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9589, 94oveq12i 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
9684, 95syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
97 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
98 gsum2d.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  A )
99 gsum2d.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
100 gsum2d.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
10141, 42, 44, 46, 98, 99, 100, 50, 1gsum2dlem1 17680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
102101ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
103 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
105 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
106105imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
108106, 107mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
110109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
111110imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
112111, 101chvarv 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
113112adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
11441, 43, 45, 97, 102, 104, 76, 113, 109gsumunsn 17670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
115105reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
116115reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
117116oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
118109, 117eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
119118imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
120 imaexg 6749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
122 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
123 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
124122, 123elimasn 5199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
125 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
12650ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
127125, 126syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
128124, 127sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
129 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
130128, 129fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
131 funmpt 5625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
133 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
1342, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
135124biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
136122, 123opelrn 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )  ->  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )
137136con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )
)
138135, 137anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  ) )
)
139 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) ) )
140 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( F supp  .0.  ) ) )
141138, 139, 1403imtr4i 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )
142 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
14464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
14550, 143, 46, 144suppssr 6965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( F `  <. j ,  k >. )  =  .0.  )
146125, 145syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
147141, 146sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
148147, 121suppss2 6968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  )
)
149 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
150134, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
151 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A " { j } )  e.  _V  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
152121, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
153 isfsupp 7905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0. 
<->  ( Fun  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) ) )
154152, 64, 153sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  /\  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
155132, 150, 154mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  )
156 2ndconst 6904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
157122, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
15841, 42, 44, 121, 130, 155, 157gsumf1o 17628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
159 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
160 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
161 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
163162opeq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
164159, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
165164fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
166 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
167165, 166syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
168167mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
16950feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
170169reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
171 resss 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
172 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
173171, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
174 ressn 5379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
175 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
177173, 176eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
178170, 177syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
179 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
180179adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
181 fo2nd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2nd : _V -onto-> _V
182 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
183181, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
184183feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
185184reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
186 ssv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
187 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
188186, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
189185, 188syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
190 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
191 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
192180, 189, 190, 191fmptco 6072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
193168, 178, 1923eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
194193oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
195158, 194eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
196119, 195chvarv 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
197196adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
198197oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
199114, 198eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
20096, 199eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
20140, 200syl5ibr 229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
202201expcom 442 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 28 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
20417, 24, 31, 38, 39, 203findcard2s 7830 . 2  |-  ( dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2054, 204mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    o. ccom 4843   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   supp csupp 6933   Fincfn 7587   finSupp cfsupp 7901   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510
This theorem is referenced by:  gsum2d  17682
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