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Theorem gsum2dlem2 17596
Description: Lemma for gsum2d 17597. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
21fsuppimpd 7894 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
3 dmfi 7858 . . 3  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
5 reseq2 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
6 res0 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
75, 6syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
87reseq2d 5122 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 5126 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
1110oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
12 mpteq1 4502 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
13 mpt0 5721 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1514oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1611, 15eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1716imbi2d 318 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
18 reseq2 5117 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1918reseq2d 5122 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
2019oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
21 mpteq1 4502 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2221oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 318 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
25 reseq2 5117 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2625reseq2d 5122 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2726oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
28 mpteq1 4502 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2928oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3027, 29eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3130imbi2d 318 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
32 reseq2 5117 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) )
3332reseq2d 5122 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )
3433oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) ) )
35 mpteq1 4502 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3635oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3837imbi2d 318 . . 3  |-  ( x  =  dom  ( F supp 
.0.  )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp  .0.  ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp 
.0.  )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
40 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
41 gsum2d.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 gsum2d.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
44 gsum2d.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4544adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
46 gsum2d.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
47 resexg 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4948adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
50 gsum2d.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
51 resss 5145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
52 fssres 5764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5350, 51, 52sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5453adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
55 ffun 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  F )
57 funres 5638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) )
5958adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
602adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F supp  .0.  )  e.  Fin )
61 fex 6151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
6250, 46, 61syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
63 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6442, 63eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  e.  _V
65 ressuppss 6943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6662, 64, 65sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
68 ssfi 7796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin )
6960, 67, 68syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
70 resexg 5164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  _V )
7162, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V )
72 isfsupp 7891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7371, 64, 72sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7473adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  /\  (
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7559, 69, 74mpbir2and 931 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) finSupp  .0.  )
76 simprr 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
77 disjsn 4058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7876, 77sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
7978reseq2d 5122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
80 resindi 5137 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
8179, 80, 63eqtr3g 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
82 resundi 5135 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
8441, 42, 43, 45, 49, 54, 75, 81, 83gsumsplit 17554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
85 ssun1 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
86 ssres2 5148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
87 resabs1 5150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
8885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
8988oveq2i 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
90 ssun2 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
91 ssres2 5148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
92 resabs1 5150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9390, 91, 92mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
9493oveq2i 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
9589, 94oveq12i 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
9684, 95syl6eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
97 simprl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
98 gsum2d.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Rel  A )
99 gsum2d.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
100 gsum2d.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
10141, 42, 44, 46, 98, 99, 100, 50, 1gsum2dlem1 17595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
102101ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
103 vex 3085 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
105 sneq 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
106105imaeq2d 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
107 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
108106, 107mpteq12dv 4500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
109108oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
110109eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
111110imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
112111, 101chvarv 2069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
113112adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
11441, 43, 45, 97, 102, 104, 76, 113, 109gsumunsn 17585 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
115105reseq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
116115reseq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
117116oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
118109, 117eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
119118imbi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
120 imaexg 6742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
122 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  j  e. 
_V
123 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
124122, 123elimasn 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
125 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
12650ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
127125, 126syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
128124, 127sylan2b 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
129 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
130128, 129fmptd 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
131 funmpt 5635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
133 rnfi 7861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
1342, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
135124biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
136122, 123opelrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )  ->  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )
137136con3i 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )
)
138135, 137anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  ) )
)
139 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) ) )
140 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( F supp  .0.  ) ) )
141138, 139, 1403imtr4i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )
142 ssid 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
14464a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
14550, 143, 46, 144suppssr 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( F `  <. j ,  k >. )  =  .0.  )
146125, 145syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
147141, 146sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
148147, 121suppss2 6958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  )
)
149 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
150134, 148, 149syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
151 mptexg 6148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A " { j } )  e.  _V  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
152121, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V )
153 isfsupp 7891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0. 
<->  ( Fun  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  e.  Fin ) ) )
154152, 64, 153sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  /\  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
155132, 150, 154mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) finSupp  .0.  )
156 2ndconst 6894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
157122, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
15841, 42, 44, 121, 130, 155, 157gsumf1o 17543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
159 1st2nd2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
160 xp1st 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
161 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
163162opeq1d 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
164159, 163eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
165164fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
166 df-ov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
167165, 166syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
168167mpteq2ia 4504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
16950feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
170169reseq1d 5121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
171 resss 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
172 resmpt 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
173171, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
174 ressn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
175 mpteq1 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
177173, 176eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
178170, 177syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
179 xp2nd 6836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
180179adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
181 fo2nd 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2nd : _V -onto-> _V
182 fof 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
183181, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
184183feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
185184reseq1d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
186 ssv 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
187 resmpt 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
188186, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
189185, 188syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
190 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
191 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
192180, 189, 190, 191fmptco 6069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
193168, 178, 1923eqtr4a 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
194193oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
195158, 194eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
196119, 195chvarv 2069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
197196adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
198197oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
199114, 198eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
20096, 199eqeq12d 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
20140, 200syl5ibr 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
202201expcom 437 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
203202a2d 30 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
20417, 24, 31, 38, 39, 203findcard2s 7816 . 2  |-  ( dom  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2054, 204mpcom 38 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( F supp 
.0.  ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( F supp  .0.  )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   <.cop 4003   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855   Rel wrel 4856   Fun wfun 5593   -->wf 5595   -onto->wfo 5597   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   1stc1st 6803   2ndc2nd 6804   supp csupp 6923   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425
This theorem is referenced by:  gsum2d  17597
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