MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2dlem1 Structured version   Unicode version

Theorem gsum2dlem1 17124
Description: Lemma 1 for gsum2d 17126. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2d.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2d.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2d.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2d.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2dlem1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem1
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 imaexg 6736 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
7 vex 3112 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
8 vex 3112 . . . . 5  |-  k  e. 
_V
97, 8elimasn 5372 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
10 df-ov 6299 . . . . 5  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
11 gsum2d.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1211ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
1310, 12syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
149, 13sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
15 eqid 2457 . . 3  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
1614, 15fmptd 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
17 gsum2d.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
1817fsuppimpd 7854 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
19 rnfi 7823 . . . 4  |-  ( ( F supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
219biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
227, 8opelrn 5244 . . . . . . . 8  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )  ->  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )
2322con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  )
)
2421, 23anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k >.  e.  ( F supp  .0.  ) )
)
25 eldif 3481 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( F supp  .0.  ) ) )
26 eldif 3481 . . . . . 6  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( F supp  .0.  ) ) )
2724, 25, 263imtr4i 266 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )
28 ssid 3518 . . . . . . . 8  |-  ( F supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
30 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
312, 30eqeltri 2541 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
3311, 29, 4, 32suppssr 6949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( F `  <. j ,  k >. )  =  .0.  )
3410, 33syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
3527, 34sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( F supp  .0.  ) ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
3635, 6suppss2 6952 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  )
)
37 ssfi 7759 . . 3  |-  ( ( ran  ( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) supp 
.0.  )  C_  ran  ( F supp  .0.  ) )  ->  ( ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
3820, 36, 37syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) supp  .0.  )  e.  Fin )
391, 2, 3, 6, 16, 38gsumcl2 17049 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Rel wrel 5013   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858  CMndccmn 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-cntz 16482  df-cmn 16927
This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  17125  gsum2d  17126
  Copyright terms: Public domain W3C validator