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Theorem gsum2dOLD 16874
 Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Obsolete version of gsumpt 16862 as of 8-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2dOLD.b
gsum2dOLD.z
gsum2dOLD.g CMnd
gsum2dOLD.a
gsum2dOLD.r
gsum2dOLD.d
gsum2dOLD.s
gsum2dOLD.f
gsum2dOLD.w
Assertion
Ref Expression
gsum2dOLD g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem gsum2dOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2dOLD.w . . . 4
2 dmfi 7805 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 reseq2 5258 . . . . . . . . . 10
5 res0 5268 . . . . . . . . . 10
64, 5syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
76reseq2d 5263 . . . . . . . 8
8 res0 5268 . . . . . . . 8
97, 8syl6eq 2500 . . . . . . 7
109oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
11 mpteq1 4517 . . . . . . . 8 g g
12 mpt0 5698 . . . . . . . 8 g
1311, 12syl6eq 2500 . . . . . . 7 g
1413oveq2d 6297 . . . . . 6 g g g
1510, 14eqeq12d 2465 . . . . 5 g g g g g
1615imbi2d 316 . . . 4 g g g g g
17 reseq2 5258 . . . . . . . 8
1817reseq2d 5263 . . . . . . 7
1918oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
20 mpteq1 4517 . . . . . . 7 g g
2120oveq2d 6297 . . . . . 6 g g g g
2219, 21eqeq12d 2465 . . . . 5 g g g g g g
2322imbi2d 316 . . . 4 g g g g g g
24 reseq2 5258 . . . . . . . 8
2524reseq2d 5263 . . . . . . 7
2625oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
27 mpteq1 4517 . . . . . . 7 g g
2827oveq2d 6297 . . . . . 6 g g g g
2926, 28eqeq12d 2465 . . . . 5 g g g g g g
3029imbi2d 316 . . . 4 g g g g g g
31 reseq2 5258 . . . . . . . 8
3231reseq2d 5263 . . . . . . 7
3332oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
34 mpteq1 4517 . . . . . . 7 g g
3534oveq2d 6297 . . . . . 6 g g g g
3633, 35eqeq12d 2465 . . . . 5 g g g g g g
3736imbi2d 316 . . . 4 g g g g g g
38 eqidd 2444 . . . 4 g g
39 oveq1 6288 . . . . . . 7 g g g g g g g g
40 gsum2dOLD.b . . . . . . . . . 10
41 gsum2dOLD.z . . . . . . . . . 10
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
43 gsum2dOLD.g . . . . . . . . . . 11 CMnd
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10 CMnd
45 gsum2dOLD.a . . . . . . . . . . . 12
46 resexg 5306 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10
49 gsum2dOLD.f . . . . . . . . . . . 12
50 resss 5287 . . . . . . . . . . . 12
51 fssres 5741 . . . . . . . . . . . 12
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10
54 resss 5287 . . . . . . . . . . . . 13
55 cnvss 5165 . . . . . . . . . . . . 13
56 imass1 5361 . . . . . . . . . . . . 13
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
58 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . 12
591, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10
61 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
62 disjsn 4075 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
6463reseq2d 5263 . . . . . . . . . . 11
65 resindi 5279 . . . . . . . . . . 11
6664, 65, 53eqtr3g 2507 . . . . . . . . . 10
67 resundi 5277 . . . . . . . . . . 11
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10
6940, 41, 42, 44, 48, 53, 60, 66, 68gsumsplitOLD 16821 . . . . . . . . 9 g g g
70 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . 12
71 ssres2 5290 . . . . . . . . . . . 12
72 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . 12
7370, 71, 72mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
7473oveq2i 6292 . . . . . . . . . 10 g g
75 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . 12
76 ssres2 5290 . . . . . . . . . . . 12
77 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . 12
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
7978oveq2i 6292 . . . . . . . . . 10 g g
8074, 79oveq12i 6293 . . . . . . . . 9 g g g g
8169, 80syl6eq 2500 . . . . . . . 8 g g g
82 simprl 756 . . . . . . . . . 10
83 imaexg 6722 . . . . . . . . . . . . 13
8445, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12
85 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86elimasn 5352 . . . . . . . . . . . . . 14
88 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . 15
8949ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 89syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . 14
9187, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13
9391, 92fmptd 6040 . . . . . . . . . . . 12
94 rnfi 7807 . . . . . . . . . . . . . 14
951, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9687biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9785, 86opelrn 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9897con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9996, 98anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10299, 100, 1013imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10549, 104suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10688, 105syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15
107102, 106sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
108107suppss2OLD 6515 . . . . . . . . . . . . 13
109 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . 13
11095, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
11140, 41, 43, 84, 93, 110gsumclOLD 16800 . . . . . . . . . . 11 g
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 g
113 vex 3098 . . . . . . . . . . 11
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10
115 sneq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115imaeq2d 5327 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118116, 117mpteq12dv 4515 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
120119eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13 g g
121120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12 g g
122121, 111chvarv 2000 . . . . . . . . . . 11 g
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10 g
12440, 42, 44, 82, 112, 114, 61, 123, 119gsumunsn 16860 . . . . . . . . 9 g g g g g
125115reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . 15
127126oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
128119, 127eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . 13 g g g g
129128imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12 g g g g
130 2ndconst 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15
13185, 130mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
13240, 41, 43, 84, 93, 110, 131gsumf1oOLD 16801 . . . . . . . . . . . . 13 g g
133 1st2nd2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134 xp1st 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135 elsni 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137136opeq1d 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138133, 137eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141139, 140syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15
14349feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144143reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 resss 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148 ressn 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149 mpteq1 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151147, 150eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152144, 151syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 xp2nd 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155 fo2nd 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156 fof 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157155, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158157feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160 ssv 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163159, 162syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166154, 163, 164, 165fmptco 6049 . . . . . . . . . . . . . . 15
167142, 152, 1663eqtr4a 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
168167oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13 g g
169132, 168eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12 g g
170129, 169chvarv 2000 . . . . . . . . . . 11 g g
171170adantr 465 . . . . . . . . . 10 g g
172171oveq2d 6297 . . . . . . . . 9 g g g g g g
173124, 172eqtrd 2484 . . . . . . . 8 g g g g g
17481, 173eqeq12d 2465 . . . . . . 7 g g g g g g g g
17539, 174syl5ibr 221 . . . . . 6 g g g g g g
176175expcom 435 . . . . 5 g g g g g g
177176a2d 26 . . . 4 g g g g g g
17816, 23, 30, 37, 38, 177findcard2s 7763 . . 3 g g g
1793, 178mpcom 36 . 2 g g g
180 cnvimass 5347 . . . . . 6
181 fdm 5725 . . . . . . 7
18249, 181syl 16 . . . . . 6
183180, 182syl5sseq 3537 . . . . 5
184 gsum2dOLD.r . . . . . . 7
185 relss 5080 . . . . . . 7
186183, 184, 185sylc 60 . . . . . 6
187 relssdmrn 5518 . . . . . . 7
188 ssv 3509 . . . . . . . 8
189 xpss2 5102 . . . . . . . 8
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . 7
191187, 190syl6ss 3501 . . . . . 6
192186, 191syl 16 . . . . 5
193183, 192ssind 3707 . . . 4
194 df-res 5001 . . . 4
195193, 194syl6sseqr 3536 . . 3
19640, 41, 43, 45, 49, 195, 1gsumresOLD 16799 . 2 g g
197 dmss 5192 . . . . . . 7
198183, 197syl 16 . . . . . 6
199 gsum2dOLD.s . . . . . 6
200198, 199sstrd 3499 . . . . 5
201 resmpt 5313 . . . . 5 g g
202200, 201syl 16 . . . 4 g g
203202oveq2d 6297 . . 3 g g g g
204 gsum2dOLD.d . . . 4
205111adantr 465 . . . . 5 g
206 eqid 2443 . . . . 5 g g
207205, 206fmptd 6040 . . . 4 g
20896ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
209 eldifn 3612 . . . . . . . . . . . . 13
210209ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
21185, 86opeldm 5196 . . . . . . . . . . . 12
212210, 211nsyl 121 . . . . . . . . . . 11
213208, 212eldifd 3472 . . . . . . . . . 10
214213, 106syldan 470 . . . . . . . . 9
215214anassrs 648 . . . . . . . 8
216215mpteq2dva 4523 . . . . . . 7
217216oveq2d 6297 . . . . . 6 g g
218 cmnmnd 16687 . . . . . . . . 9 CMnd
21943, 218syl 16 . . . . . . . 8
22041gsumz 15879 . . . . . . . 8 g
221219, 84, 220syl2anc 661 . . . . . . 7 g
222221adantr 465 . . . . . 6 g
223217, 222eqtrd 2484 . . . . 5 g
224223suppss2OLD 6515 . . . 4 g
225 ssfi 7742 . . . . 5 g g
2263, 224, 225syl2anc 661 . . . 4 g
22740, 41, 43, 204, 207, 224, 226gsumresOLD 16799 . . 3 g g g g
228203, 227eqtr3d 2486 . 2 g g g g
229179, 196, 2283eqtr3d 2492 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   cdif 3458   cun 3459   cin 3460   wss 3461  c0 3770  csn 4014  cop 4020   cmpt 4495   cxp 4987  ccnv 4988   cdm 4989   crn 4990   cres 4991  cima 4992   ccom 4993   wrel 4994  wf 5574  wfo 5576  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281  c1st 6783  c2nd 6784  cfn 7518  cbs 14509   cplusg 14574  c0g 14714   g cgsu 14715  cmnd 15793  CMndccmn 16672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674 This theorem is referenced by:  gsumxpOLD  16880
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