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Theorem gsum2dOLD 16467
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Obsolete version of gsumpt 16457 as of 8-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2dOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2dOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2dOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2dOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2dOLD.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2dOLD.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2dOLD.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2dOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2dOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsum2dOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dOLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2dOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2 dmfi 7597 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
4 reseq2 5108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
5 res0 5118 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
76reseq2d 5113 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
8 res0 5118 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
109oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
11 mpteq1 4375 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
12 mpt0 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1413oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1510, 14eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
17 reseq2 5108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1817reseq2d 5113 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
1918oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
20 mpteq1 4375 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2120oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
24 reseq2 5108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2524reseq2d 5113 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2625oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
27 mpteq1 4375 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2827oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2926, 28eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
31 reseq2 5108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
3231reseq2d 5113 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
3332oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
34 mpteq1 4375 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3534oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3633, 35eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3736imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
38 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
39 oveq1 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
40 gsum2dOLD.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
41 gsum2dOLD.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
43 gsum2dOLD.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
45 gsum2dOLD.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
46 resexg 5152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
49 gsum2dOLD.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
50 resss 5137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
51 fssres 5581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
54 resss 5137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) 
C_  F
55 cnvss 5015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  C_  F  ->  `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F )
56 imass1 5206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
58 ssfi 7536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
591, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
61 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
62 disjsn 3939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
6361, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
6463reseq2d 5113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
65 resindi 5129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
6664, 65, 53eqtr3g 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
67 resundi 5127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
6940, 41, 42, 44, 48, 53, 60, 66, 68gsumsplitOLD 16424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
70 ssun1 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
71 ssres2 5140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
72 resabs1 5142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
7370, 71, 72mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
7473oveq2i 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
75 ssun2 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
76 ssres2 5140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
77 resabs1 5142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
7978oveq2i 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
8074, 79oveq12i 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
8169, 80syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
82 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
83 imaexg 6518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
8445, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
85 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  j  e. 
_V
86 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
_V
8785, 86elimasn 5197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
88 df-ov 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
8949ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
9088, 89syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
9187, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
9391, 92fmptd 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
94 rnfi 7599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
951, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
9687biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
9785, 86opelrn 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
9897con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
9996, 98anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
100 eldif 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
101 eldif 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
10299, 100, 1013imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
103 ssid 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10549, 104suppssrOLD 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  =  .0.  )
10688, 105syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( j F k )  =  .0.  )
107102, 106sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
108107suppss2OLD 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
109 ssfi 7536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
11095, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
11140, 41, 43, 84, 93, 110gsumclOLD 16403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
113 vex 2978 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
115 sneq 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
116115imaeq2d 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
117 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
118116, 117mpteq12dv 4373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
119118oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
120119eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
121120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
122121, 111chvarv 1958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
12440, 42, 44, 82, 112, 114, 61, 123, 119gsumunsn 16456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
125115reseq2d 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
126125reseq2d 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
127126oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
128119, 127eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
129128imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
130 2ndconst 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13185, 130mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13240, 41, 43, 84, 93, 110, 131gsumf1oOLD 16404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
133 1st2nd2 6616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
134 xp1st 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
135 elsni 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
137136opeq1d 4068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
138133, 137eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
139138fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
140 df-ov 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
141139, 140syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
142141mpteq2ia 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
14349feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
144143reseq1d 5112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
145 resss 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
146 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
148 ressn 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
149 mpteq1 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
151147, 150eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
152144, 151syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
153 xp2nd 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
154153adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
155 fo2nd 6600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2nd : _V -onto-> _V
156 fof 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
157155, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
158157feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
159158reseq1d 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
160 ssv 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
161 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
163159, 162syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
164 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
165 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
166154, 163, 164, 165fmptco 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
167142, 152, 1663eqtr4a 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
168167oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
169132, 168eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
170129, 169chvarv 1958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
171170adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
172171oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
173124, 172eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
17481, 173eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
17539, 174syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
176175expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
177176a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
17816, 23, 30, 37, 38, 177findcard2s 7556 . . 3  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
1793, 178mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
180 cnvimass 5192 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
181 fdm 5566 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
18249, 181syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
183180, 182syl5sseq 3407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
184 gsum2dOLD.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  A )
185 relss 4930 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  ( Rel  A  ->  Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
186183, 184, 185sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
187 relssdmrn 5361 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
188 ssv 3379 . . . . . . . 8  |-  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  _V
189 xpss2 4952 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  _V  ->  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  _V )
191187, 190syl6ss 3371 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
192186, 191syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
193183, 192ssind 3577 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  i^i  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) ) )
194 df-res 4855 . . . 4  |-  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( A  i^i  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
195193, 194syl6sseqr 3406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
19640, 41, 43, 45, 49, 195, 1gsumresOLD 16402 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
197 dmss 5042 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
198183, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
199 gsum2dOLD.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
200198, 199sstrd 3369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D )
201 resmpt 5159 . . . . 5  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
202200, 201syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( j  e. 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
203202oveq2d 6110 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
204 gsum2dOLD.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
205111adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
206 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )
207205, 206fmptd 5870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) : D --> B )
20896ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  A
)
209 eldifn 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
210209ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
21185, 86opeldm 5046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
212210, 211nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
213208, 212eldifd 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
214213, 106syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
215214anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
216215mpteq2dva 4381 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )
217216oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
) )
218 cmnmnd 16295 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21943, 218syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
22041gsumz 15514 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( A " { j } )  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
221219, 84, 220syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
222221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
223217, 222eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  .0.  )
224223suppss2OLD 6318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
225 ssfi 7536 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2263, 224, 225syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
22740, 41, 43, 204, 207, 224, 226gsumresOLD 16402 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
228203, 227eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
229179, 196, 2283eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   <.cop 3886    e. cmpt 4353    X. cxp 4841   `'ccnv 4842   dom cdm 4843   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846    o. ccom 4847   Rel wrel 4848   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   1stc1st 6578   2ndc2nd 6579   Fincfn 7313   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   0gc0g 14381    gsumg cgsu 14382   Mndcmnd 15412  CMndccmn 16280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282
This theorem is referenced by:  gsumxpOLD  16473
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