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Theorem gsum2dOLD 16874
Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Obsolete version of gsumpt 16862 as of 8-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2dOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2dOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2dOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2dOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2dOLD.r  |-  ( ph  ->  Rel  A )
gsum2dOLD.d  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
gsum2dOLD.s  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
gsum2dOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsum2dOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsum2dOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    j, F, k    j, G, k    ph, j, k    B, j, k    D, j, k    .0. , j, k
Allowed substitution hints:    V( j, k)    W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dOLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2dOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2 dmfi 7805 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
4 reseq2 5258 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  (/) ) )
5 res0 5268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  |`  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  |`  x )  =  (/) )
76reseq2d 5263 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  ( F  |`  (/) ) )
8 res0 5268 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  ( A  |`  x
) )  =  (/) )
109oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
11 mpteq1 4517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  (/)  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
12 mpt0 5698 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  (/) )
1413oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
1510, 14eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) ) ) )
17 reseq2 5258 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  y
) )
1817reseq2d 5263 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
1918oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) )
20 mpteq1 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  y  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2120oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
24 reseq2 5258 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2524reseq2d 5263 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )
2625oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) ) )
27 mpteq1 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  ( y  u.  {
z } )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
2827oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
2926, 28eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
31 reseq2 5258 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( A  |`  x )  =  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
3231reseq2d 5263 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( F  |`  ( A  |`  x ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
3332oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
34 mpteq1 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
3534oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
3633, 35eqeq12d 2465 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |` 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
3736imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  x ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  x  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
38 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  (/) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
39 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
40 gsum2dOLD.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
41 gsum2dOLD.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
43 gsum2dOLD.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  G  e. CMnd )
45 gsum2dOLD.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
46 resexg 5306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  _V )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  e. 
_V )
49 gsum2dOLD.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
50 resss 5287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) 
C_  A
51 fssres 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) --> B )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) : ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) --> B )
54 resss 5287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) 
C_  F
55 cnvss 5165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  C_  F  ->  `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F )
56 imass1 5361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  C_  `' F  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
58 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
591, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
61 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  ->  -.  z  e.  y
)
62 disjsn 4075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
6361, 62sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
6463reseq2d 5263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  i^i  { z } ) )  =  ( A  |`  (/) ) )
65 resindi 5279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  i^i  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )
6664, 65, 53eqtr3g 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( A  |`  y )  i^i  ( A  |`  { z } ) )  =  (/) )
67 resundi 5277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) )
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( A  |`  y )  u.  ( A  |`  { z } ) ) )
6940, 41, 42, 44, 48, 53, 60, 66, 68gsumsplitOLD 16821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) ) ) ) )
70 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
71 ssres2 5290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
72 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  y )  C_  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )
7370, 71, 72mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  y ) )
7473oveq2i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) )
75 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
76 ssres2 5290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )
77 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  |`  { z } )  C_  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  |`  ( A  |` 
{ z } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) )
7978oveq2i 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
8074, 79oveq12i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( A  |`  ( y  u.  { z } ) ) )  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
8169, 80syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
82 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
83 imaexg 6722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  ( A " { j } )  e.  _V )
8445, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A " {
j } )  e. 
_V )
85 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  j  e. 
_V
86 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
_V
8785, 86elimasn 5352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  A )
88 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j F k )  =  ( F `  <. j ,  k >. )
8949ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  e.  B
)
9088, 89syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  A
)  ->  ( j F k )  e.  B )
9187, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  e.  B )
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )
9391, 92fmptd 6040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
94 rnfi 7807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
951, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
9687biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( A " { j } )  ->  <. j ,  k
>.  e.  A )
9785, 86opelrn 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
9897con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
9996, 98anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( A
" { j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
100 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( k  e.  ( A " {
j } )  /\  -.  k  e.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
101 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  <->  ( <. j ,  k >.  e.  A  /\  -.  <. j ,  k
>.  e.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
10299, 100, 1013imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( A
" { j } )  \  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
103 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
10549, 104suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( F `  <. j ,  k
>. )  =  .0.  )
10688, 105syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( j F k )  =  .0.  )
107102, 106sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( A " { j } ) 
\  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
108107suppss2OLD 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
109 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
11095, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
11140, 41, 43, 84, 93, 110gsumclOLD 16800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  /\  j  e.  y )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
113 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
z  e.  _V )
115 sneq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  z  ->  { j }  =  { z } )
116115imaeq2d 5327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A " { j } )  =  ( A
" { z } ) )
117 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  (
j F k )  =  ( z F k ) )
118116, 117mpteq12dv 4515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  (
k  e.  ( A
" { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )
119118oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )
120119eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) )
121120imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )  <-> 
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B ) ) )
122121, 111chvarv 2000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
123122adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  e.  B )
12440, 42, 44, 82, 112, 114, 61, 123, 119gsumunsn 16860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) ) )
125115reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  z  ->  ( A  |`  { j } )  =  ( A  |`  { z } ) )
126125reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  z  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) )
127126oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
128119, 127eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  z  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  <->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A
" { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
129128imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  z  ->  (
( ph  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
130 2ndconst 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13185, 130mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) : ( { j }  X.  ( A
" { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " {
j } ) )
13240, 41, 43, 84, 93, 110, 131gsumf1oOLD 16801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
133 1st2nd2 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  ( 2nd `  x ) >. )
134 xp1st 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
{ j } )
135 elsni 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1st `  x )  e.  { j }  ->  ( 1st `  x
)  =  j )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 1st `  x )  =  j )
137136opeq1d 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  <. ( 1st `  x ) ,  ( 2nd `  x
) >.  =  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
138133, 137eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  x  =  <. j ,  ( 2nd `  x )
>. )
139138fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x ) >. )
)
140 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j F ( 2nd `  x
) )  =  ( F `  <. j ,  ( 2nd `  x
) >. )
141139, 140syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( F `  x )  =  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
142141mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x
) ) )
14349feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
144143reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  |`  { j } ) ) )
145 resss 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } ) 
C_  A
146 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) ) )
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )
148 ressn 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )
149 mpteq1 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  |`  { j } )  =  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  -> 
( x  e.  ( A  |`  { j } )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `  x ) ) )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  |`  { j } ) 
|->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
151147, 150eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  |` 
{ j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  |->  ( F `
 x ) )
152144, 151syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( F `
 x ) ) )
153 xp2nd 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A
" { j } ) )  ->  ( 2nd `  x )  e.  ( A " {
j } ) )
154153adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  ->  ( 2nd `  x
)  e.  ( A
" { j } ) )
155 fo2nd 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2nd : _V -onto-> _V
156 fof 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd
: _V --> _V )
157155, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  2nd : _V --> _V )
158157feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2nd  =  ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) ) )
159158reseq1d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )
160 ssv 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V
161 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( 2nd `  x ) )  |`  ( {
j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x ) )
163159, 162syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( 2nd `  x
) ) )
164 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) ) )
165 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  x
)  ->  ( j F k )  =  ( j F ( 2nd `  x ) ) )
166154, 163, 164, 165fmptco 6049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( { j }  X.  ( A " { j } ) )  |->  ( j F ( 2nd `  x ) ) ) )
167142, 152, 1663eqtr4a 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) )  =  ( ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) )
168167oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  o.  ( 2nd  |`  ( { j }  X.  ( A " { j } ) ) ) ) ) )
169132, 168eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { j } ) ) ) )
170129, 169chvarv 2000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
171170adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )
172171oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { z } )  |->  ( z F k ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
173124, 172eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) )
17481, 173eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y ) ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ( +g  `  G ) ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  { z } ) ) ) ) ) )
17539, 174syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
176175expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
177176a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  y
) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  y 
|->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
17816, 23, 30, 37, 38, 177findcard2s 7763 . . 3  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  ->  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) ) )
1793, 178mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
180 cnvimass 5347 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
181 fdm 5725 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
18249, 181syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
183180, 182syl5sseq 3537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
184 gsum2dOLD.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Rel  A )
185 relss 5080 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  ( Rel  A  ->  Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
186183, 184, 185sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Rel  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
187 relssdmrn 5518 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
188 ssv 3509 . . . . . . . 8  |-  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  _V
189 xpss2 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  _V  ->  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ran  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
190188, 189ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
ran  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  ( dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  _V )
191187, 190syl6ss 3501 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
192186, 191syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
193183, 192ssind 3707 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  i^i  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) ) )
194 df-res 5001 . . . 4  |-  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( A  i^i  ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  X. 
_V ) )
195193, 194syl6sseqr 3536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
19640, 41, 43, 45, 49, 195, 1gsumresOLD 16799 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( A  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
197 dmss 5192 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
198183, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  dom  A )
199 gsum2dOLD.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  A  C_  D
)
200198, 199sstrd 3499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D )
201 resmpt 5313 . . . . 5  |-  ( dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  D  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  =  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
202200, 201syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( j  e. 
dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )
203202oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
204 gsum2dOLD.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  W )
205111adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B )
206 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) )
207205, 206fmptd 6040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) : D --> B )
20896ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  A
)
209 eldifn 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
210209ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
21185, 86opeldm 5196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
212210, 211nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  -.  <.
j ,  k >.  e.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
213208, 212eldifd 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( A  \  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
214213, 106syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) ) )  ->  (
j F k )  =  .0.  )
215214anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  /\  k  e.  ( A " { j } ) )  -> 
( j F k )  =  .0.  )
216215mpteq2dva 4523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  ( A " {
j } )  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )
217216oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
) )
218 cmnmnd 16687 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
21943, 218syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
22041gsumz 15879 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( A " { j } )  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
221219, 84, 220syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
222221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
223217, 222eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( D  \  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) )  =  .0.  )
224223suppss2OLD 6515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
225 ssfi 7742 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2263, 224, 225syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
22740, 41, 43, 204, 207, 224, 226gsumresOLD 16799 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } ) 
|->  ( j F k ) ) ) )  |`  dom  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
228203, 227eqtr3d 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  dom  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
229179, 196, 2283eqtr3d 2492 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( A " { j } )  |->  ( j F k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   Rel wrel 4994   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7518   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Mndcmnd 15793  CMndccmn 16672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674
This theorem is referenced by:  gsumxpOLD  16880
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