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Theorem gsum2d2lem 17548
Description: Lemma for gsum2d2 17549: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2lem  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . 4  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
21mpt2fun 6356 . . 3  |-  Fun  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )
4 gsum2d2.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5 gsum2d2.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
65ralrimivva 2786 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
71fmpt2x 6817 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
86, 7sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
9 relxp 4904 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
109rgenw 2726 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
11 reliun 4916 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1210, 11mpbir 212 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
13 eldifi 3530 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
1413adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
15 elrel 4899 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>. )
1612, 14, 15sylancr 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k >.
)
17 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
18 nfiu1 4272 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
19 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U
2018, 19nfdif 3529 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2120nfcri 2563 . . . . . . 7  |-  F/ j  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2217, 21nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
23 nfmpt21 6316 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
24 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
z
2523, 24nffv 5832 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
2625nfeq1 2582 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
27 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
28 nfmpt22 6317 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
29 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
z
3028, 29nffv 5832 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
3130nfeq1 2582 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
32 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  =  <. j ,  k >. )
3332fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >. )
)
34 df-ov 6252 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. j ,  k
>. )
35 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )
3632, 35eqeltrrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
3736eldifad 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
38 opeliunxp 4848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
3937, 38sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j  e.  A  /\  k  e.  C
) )
4039simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
j  e.  A )
4139simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
k  e.  C )
4239, 5syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  e.  B )
431ovmpt4g 6377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4534, 44syl5eqr 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >.
)  =  X )
46 eldifn 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  -.  z  e.  U
)
4746ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  z  e.  U
)
4832eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  <.
j ,  k >.  e.  U ) )
49 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j U k  <->  <. j ,  k >.  e.  U
)
5048, 49syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  j U k ) )
5147, 50mtbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  j U k )
5239, 51jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
53 gsum2d2.n . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
5452, 53syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  =  .0.  )
5533, 45, 543eqtrd 2466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  )
5655expr 618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
)
5727, 31, 56exlimd 1974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. k  z  =  <. j ,  k >.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  ) )
5822, 26, 57exlimd 1974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 z )  =  .0.  ) )
5916, 58mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
608, 59suppss 6900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )
61 ssfi 7745 . . 3  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
624, 60, 61syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
63 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
64 gsum2d2.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
6564ralrimiva 2779 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  C  e.  W )
661mpt2exxg 6825 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  C  e.  W )  ->  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
6763, 65, 66syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
68 gsum2d2.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
69 fvex 5835 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
7068, 69eqeltri 2502 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
7170a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
72 isfsupp 7840 . . 3  |-  ( ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7367, 71, 72syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
743, 62, 73mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    C_ wss 3379   {csn 3941   <.cop 3947   U_ciun 4242   class class class wbr 4366    X. cxp 4794   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251   supp csupp 6869   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836   Basecbs 15064   0gc0g 15281  CMndccmn 17373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837
This theorem is referenced by:  gsum2d2  17549  gsumcom2  17550
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