Theorem gsum2d2lem 17653

Description: Lemma for gsum2d2 17654: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2lem	|- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2461	. . . 4 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
2	1	mpt2fun 6424	. . 3 |- Fun ( j e. A , k e. C |-> X )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) )
4		gsum2d2.u	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
5		gsum2d2.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
6	5	ralrimivva 2820	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
7	1	fmpt2x 6885	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
8	6, 7	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
9		relxp 4960	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
10	9	rgenw 2760	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
11		reliun 4972	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
12	10, 11	mpbir 214	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
13		eldifi 3566	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
14	13	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
15		elrel 4955	. . . . . 6 |- ( ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
16	12, 14, 15	sylancr 674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
17		nfv 1771	. . . . . . 7 |- F/ j ph
18		nfiu1 4321	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
19		nfcv 2602	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U
20	18, 19	nfdif 3565	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
21	20	nfcri 2596	. . . . . . 7 |- F/ j z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
22	17, 21	nfan 2021	. . . . . 6 |- F/ j ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
23		nfmpt21 6384	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
24		nfcv 2602	. . . . . . . 8 |- F/_ j z
25	23, 24	nffv 5894	. . . . . . 7 |- F/_ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
26	25	nfeq1 2615	. . . . . 6 |- F/ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
27		nfv 1771	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
28		nfmpt22 6385	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
29		nfcv 2602	. . . . . . . . 9 |- F/_ k z
30	28, 29	nffv 5894	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
31	30	nfeq1 2615	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
32		simprr 771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z = <. j , k >. )
33	32	fveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) )
34		df-ov 6317	. . . . . . . . . 10 |- ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. )
35		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
36	32, 35	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
37	36	eldifad 3427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
38		opeliunxp 4904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
39	37, 38	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j e. A /\ k e. C ) )
40	39	simpld 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> j e. A )
41	39	simprd 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> k e. C )
42	39, 5	syldan 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X e. B )
43	1	ovmpt4g 6445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
45	34, 44	syl5eqr 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) = X )
46		eldifn 3567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> -. z e. U )
47	46	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. z e. U )
48	32	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> <. j , k >. e. U ) )
49		df-br 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j U k <-> <. j , k >. e. U )
50	48, 49	syl6bbr 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> j U k ) )
51	47, 50	mtbid 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. j U k )
52	39, 51	jca 539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) )
53		gsum2d2.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
54	52, 53	syldan 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X = .0. )
55	33, 45, 54	3eqtrd 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
56	55	expr 624	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
57	27, 31, 56	exlimd 2007	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
58	22, 26, 57	exlimd 2007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. j E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
59	16, 58	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
60	8, 59	suppss 6971	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U )
61		ssfi 7817	. . 3 |- ( ( U e. Fin /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
62	4, 60, 61	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
63		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
64		gsum2d2.r	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
65	64	ralrimiva 2813	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A C e. W )
66	1	mpt2exxg 6893	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A C e. W ) -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
67	63, 65, 66	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
68		gsum2d2.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
69		fvex 5897	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	68, 69	eqeltri 2535	. . . 4 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
72		isfsupp 7912	. . 3 |- ( ( ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
73	67, 71, 72	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
74	3, 62, 73	mpbir2and 938	1 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   C_ wss 3415   {csn 3979   <.cop 3985   U_ciun 4291   class class class wbr 4415   X. cxp 4850   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   |-> cmpt2 6316   supp csupp 6940   Fincfn 7594   finSupp cfsupp 7908   Basecbs 15169   0gc0g 15386  CMndccmn 17478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-er 7388  df-en 7595  df-fin 7598  df-fsupp 7909

This theorem is referenced by:  gsum2d2  17654  gsumcom2  17655