Theorem gsum2d2lem 16816

Description: Lemma for gsum2d2 16817: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2lem	|- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . 4 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
2	1	mpt2fun 6389	. . 3 |- Fun ( j e. A , k e. C |-> X )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) )
4		gsum2d2.u	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
5		gsum2d2.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
6	5	ralrimivva 2885	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
7	1	fmpt2x 6851	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
8	6, 7	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
9		relxp 5110	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
10	9	rgenw 2825	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
11		reliun 5123	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
12	10, 11	mpbir 209	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
13		eldifi 3626	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
14	13	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
15		elrel 5105	. . . . . 6 |- ( ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
16	12, 14, 15	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
17		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ j ph
18		nfiu1 4355	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
19		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U
20	18, 19	nfdif 3625	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
21	20	nfcri 2622	. . . . . . 7 |- F/ j z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
22	17, 21	nfan 1875	. . . . . 6 |- F/ j ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
23		nfmpt21 6349	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
24		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ j z
25	23, 24	nffv 5873	. . . . . . 7 |- F/_ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
26	25	nfeq1 2644	. . . . . 6 |- F/ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
27		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
28		nfmpt22 6350	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
29		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ k z
30	28, 29	nffv 5873	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
31	30	nfeq1 2644	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
32		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z = <. j , k >. )
33	32	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) )
34		df-ov 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. )
35		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
36	32, 35	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
37	36	eldifad 3488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
38		opeliunxp 5051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
39	37, 38	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j e. A /\ k e. C ) )
40	39	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> j e. A )
41	39	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> k e. C )
42	39, 5	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X e. B )
43	1	ovmpt4g 6410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
45	34, 44	syl5eqr 2522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) = X )
46		eldifn 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> -. z e. U )
47	46	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. z e. U )
48	32	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> <. j , k >. e. U ) )
49		df-br 4448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j U k <-> <. j , k >. e. U )
50	48, 49	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> j U k ) )
51	47, 50	mtbid 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. j U k )
52	39, 51	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) )
53		gsum2d2.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
54	52, 53	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X = .0. )
55	33, 45, 54	3eqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
56	55	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
57	27, 31, 56	exlimd 1861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
58	22, 26, 57	exlimd 1861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. j E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
59	16, 58	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
60	8, 59	suppss 6931	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U )
61		ssfi 7741	. . 3 |- ( ( U e. Fin /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
62	4, 60, 61	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
63		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
64		gsum2d2.r	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
65	64	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A C e. W )
66	1	mpt2exxg 6858	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A C e. W ) -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
67	63, 65, 66	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
68		gsum2d2.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
69		fvex 5876	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	68, 69	eqeltri 2551	. . . 4 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
72		isfsupp 7834	. . 3 |- ( ( ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
73	67, 71, 72	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
74	3, 62, 73	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   |-> cmpt2 6287   supp csupp 6902   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   Basecbs 14493   0gc0g 14698  CMndccmn 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fsupp 7831

This theorem is referenced by:  gsum2d2  16817  gsumcom2  16818