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Theorem gsum2d2lem 17653
Description: Lemma for gsum2d2 17654: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2lem  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2461 . . . 4  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
21mpt2fun 6424 . . 3  |-  Fun  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )
4 gsum2d2.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5 gsum2d2.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
65ralrimivva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
71fmpt2x 6885 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
86, 7sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
9 relxp 4960 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
109rgenw 2760 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
11 reliun 4972 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1210, 11mpbir 214 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
13 eldifi 3566 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
1413adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
15 elrel 4955 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>. )
1612, 14, 15sylancr 674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k >.
)
17 nfv 1771 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
18 nfiu1 4321 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
19 nfcv 2602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U
2018, 19nfdif 3565 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2120nfcri 2596 . . . . . . 7  |-  F/ j  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2217, 21nfan 2021 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
23 nfmpt21 6384 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
24 nfcv 2602 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
z
2523, 24nffv 5894 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
2625nfeq1 2615 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
27 nfv 1771 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
28 nfmpt22 6385 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
29 nfcv 2602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
z
3028, 29nffv 5894 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
3130nfeq1 2615 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
32 simprr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  =  <. j ,  k >. )
3332fveq2d 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >. )
)
34 df-ov 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. j ,  k
>. )
35 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )
3632, 35eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
3736eldifad 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
38 opeliunxp 4904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
3937, 38sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j  e.  A  /\  k  e.  C
) )
4039simpld 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
j  e.  A )
4139simprd 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
k  e.  C )
4239, 5syldan 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  e.  B )
431ovmpt4g 6445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4534, 44syl5eqr 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >.
)  =  X )
46 eldifn 3567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  -.  z  e.  U
)
4746ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  z  e.  U
)
4832eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  <.
j ,  k >.  e.  U ) )
49 df-br 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j U k  <->  <. j ,  k >.  e.  U
)
5048, 49syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  j U k ) )
5147, 50mtbid 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  j U k )
5239, 51jca 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
53 gsum2d2.n . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
5452, 53syldan 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  =  .0.  )
5533, 45, 543eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  )
5655expr 624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
)
5727, 31, 56exlimd 2007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. k  z  =  <. j ,  k >.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  ) )
5822, 26, 57exlimd 2007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 z )  =  .0.  ) )
5916, 58mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
608, 59suppss 6971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )
61 ssfi 7817 . . 3  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
624, 60, 61syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
63 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
64 gsum2d2.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
6564ralrimiva 2813 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  C  e.  W )
661mpt2exxg 6893 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  C  e.  W )  ->  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
6763, 65, 66syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
68 gsum2d2.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
69 fvex 5897 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
7068, 69eqeltri 2535 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
7170a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
72 isfsupp 7912 . . 3  |-  ( ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7367, 71, 72syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
743, 62, 73mpbir2and 938 1  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    C_ wss 3415   {csn 3979   <.cop 3985   U_ciun 4291   class class class wbr 4415    X. cxp 4850   Rel wrel 4857   Fun wfun 5594   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   supp csupp 6940   Fincfn 7594   finSupp cfsupp 7908   Basecbs 15169   0gc0g 15386  CMndccmn 17478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-er 7388  df-en 7595  df-fin 7598  df-fsupp 7909
This theorem is referenced by:  gsum2d2  17654  gsumcom2  17655
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