Theorem gsum2d2lem 17548

Description: Lemma for gsum2d2 17549: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2lem	|- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2428	. . . 4 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
2	1	mpt2fun 6356	. . 3 |- Fun ( j e. A , k e. C |-> X )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) )
4		gsum2d2.u	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
5		gsum2d2.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
6	5	ralrimivva 2786	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
7	1	fmpt2x 6817	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
8	6, 7	sylib 199	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
9		relxp 4904	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
10	9	rgenw 2726	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
11		reliun 4916	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
12	10, 11	mpbir 212	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
13		eldifi 3530	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
14	13	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
15		elrel 4899	. . . . . 6 |- ( ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
16	12, 14, 15	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
17		nfv 1755	. . . . . . 7 |- F/ j ph
18		nfiu1 4272	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
19		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U
20	18, 19	nfdif 3529	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
21	20	nfcri 2563	. . . . . . 7 |- F/ j z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
22	17, 21	nfan 1988	. . . . . 6 |- F/ j ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
23		nfmpt21 6316	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
24		nfcv 2569	. . . . . . . 8 |- F/_ j z
25	23, 24	nffv 5832	. . . . . . 7 |- F/_ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
26	25	nfeq1 2582	. . . . . 6 |- F/ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
27		nfv 1755	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
28		nfmpt22 6317	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
29		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ k z
30	28, 29	nffv 5832	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
31	30	nfeq1 2582	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
32		simprr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z = <. j , k >. )
33	32	fveq2d 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) )
34		df-ov 6252	. . . . . . . . . 10 |- ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. )
35		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
36	32, 35	eqeltrrd 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
37	36	eldifad 3391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
38		opeliunxp 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
39	37, 38	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j e. A /\ k e. C ) )
40	39	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> j e. A )
41	39	simprd 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> k e. C )
42	39, 5	syldan 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X e. B )
43	1	ovmpt4g 6377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
45	34, 44	syl5eqr 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) = X )
46		eldifn 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> -. z e. U )
47	46	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. z e. U )
48	32	eleq1d 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> <. j , k >. e. U ) )
49		df-br 4367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j U k <-> <. j , k >. e. U )
50	48, 49	syl6bbr 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> j U k ) )
51	47, 50	mtbid 301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. j U k )
52	39, 51	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) )
53		gsum2d2.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
54	52, 53	syldan 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X = .0. )
55	33, 45, 54	3eqtrd 2466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
56	55	expr 618	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
57	27, 31, 56	exlimd 1974	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
58	22, 26, 57	exlimd 1974	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. j E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
59	16, 58	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
60	8, 59	suppss 6900	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U )
61		ssfi 7745	. . 3 |- ( ( U e. Fin /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
62	4, 60, 61	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
63		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
64		gsum2d2.r	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
65	64	ralrimiva 2779	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A C e. W )
66	1	mpt2exxg 6825	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A C e. W ) -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
67	63, 65, 66	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
68		gsum2d2.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
69		fvex 5835	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	68, 69	eqeltri 2502	. . . 4 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
72		isfsupp 7840	. . 3 |- ( ( ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
73	67, 71, 72	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
74	3, 62, 73	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   C_ wss 3379   {csn 3941   <.cop 3947   U_ciun 4242   class class class wbr 4366   X. cxp 4794   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   |-> cmpt2 6251   supp csupp 6869   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836   Basecbs 15064   0gc0g 15281  CMndccmn 17373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837

This theorem is referenced by:  gsum2d2  17549  gsumcom2  17550