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Theorem gsum2d2lem 16816
Description: Lemma for gsum2d2 16817: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2lem  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
21mpt2fun 6389 . . 3  |-  Fun  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )
4 gsum2d2.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5 gsum2d2.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
65ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
71fmpt2x 6851 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
86, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
9 relxp 5110 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
109rgenw 2825 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
11 reliun 5123 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1210, 11mpbir 209 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
13 eldifi 3626 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
15 elrel 5105 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>. )
1612, 14, 15sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  E. j E. k  z  =  <. j ,  k >.
)
17 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ j
ph
18 nfiu1 4355 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
19 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j U
2018, 19nfdif 3625 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2120nfcri 2622 . . . . . . 7  |-  F/ j  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
)
2217, 21nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
23 nfmpt21 6349 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
24 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
z
2523, 24nffv 5873 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
2625nfeq1 2644 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
27 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
28 nfmpt22 6350 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
29 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
z
3028, 29nffv 5873 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )
3130nfeq1 2644 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.
32 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  =  <. j ,  k >. )
3332fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >. )
)
34 df-ov 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. j ,  k
>. )
35 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )
3632, 35eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U ) )
3736eldifad 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
38 opeliunxp 5051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j  e.  A  /\  k  e.  C
) )
4039simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
j  e.  A )
4139simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
k  e.  C )
4239, 5syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  e.  B )
431ovmpt4g 6410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
4534, 44syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. j ,  k >.
)  =  X )
46 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  \  U )  ->  -.  z  e.  U
)
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  z  e.  U
)
4832eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  <.
j ,  k >.  e.  U ) )
49 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j U k  <->  <. j ,  k >.  e.  U
)
5048, 49syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( z  e.  U  <->  j U k ) )
5147, 50mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  -.  j U k )
5239, 51jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )
53 gsum2d2.n . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
5452, 53syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  ->  X  =  .0.  )
5533, 45, 543eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) 
\  U )  /\  z  =  <. j ,  k >. ) )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  )
5655expr 615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
)
5727, 31, 56exlimd 1861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. k  z  =  <. j ,  k >.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z )  =  .0.  ) )
5822, 26, 57exlimd 1861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  ( E. j E. k  z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 z )  =  .0.  ) )
5916, 58mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  \  U
) )  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  z
)  =  .0.  )
608, 59suppss 6931 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )
61 ssfi 7741 . . 3  |-  ( ( U  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  C_  U )  -> 
( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
624, 60, 61syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
63 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
64 gsum2d2.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
6564ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  C  e.  W )
661mpt2exxg 6858 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  C  e.  W )  ->  (
j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V )
68 gsum2d2.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
69 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
7068, 69eqeltri 2551 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
7170a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
72 isfsupp 7834 . . 3  |-  ( ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  e.  _V  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
7367, 71, 72syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  <->  ( Fun  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  /\  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin ) ) )
743, 62, 73mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   supp csupp 6902   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   Basecbs 14493   0gc0g 14698  CMndccmn 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fsupp 7831
This theorem is referenced by:  gsum2d2  16817  gsumcom2  16818
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