Theorem gsum2d2 17198

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that C ( j ) is a function of j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		snex 4678	. . . . . 6 |- { j } e. _V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
7		xpexg 6575	. . . . . 6 |- ( ( { j } e. _V /\ C e. W ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
9	8	ralrimiva 2868	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
10		iunexg 6749	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
12		relxp 5098	. . . . . 6 |- Rel ( { j } X. C )
13	12	rgenw 2815	. . . . 5 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
14		reliun 5111	. . . . 5 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
15	13, 14	mpbir 209	. . . 4 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) )
17		vex 3109	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm2 5190	. . . . 5 |- ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
19		eliunxp 5129	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) )
20		vex 3109	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
21	17, 20	opth1 4710	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. -> x = j )
22	21	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x = j )
23		simprrl 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> j e. A )
24	22, 23	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x e. A )
25	24	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
26	25	exlimdvv 1730	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
27	19, 26	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
28	27	exlimdv 1729	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
29	18, 28	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
30	29	ssrdv 3495	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) C_ A )
31		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
32	31	ralrimivva 2875	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
33		eqid 2454	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
34	33	fmpt2x 6839	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
35	32, 34	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
36		gsum2d2.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. Fin )
37		gsum2d2.n	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 17197	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 17195	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) )
40		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ j G
41		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ j gsumg
42		nfiu1 4345	. . . . . . . 8 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
43		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ j { m }
44	42, 43	nfima 5333	. . . . . . 7 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } )
45		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ j m
46		nfmpt21 6337	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
47		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ j n
48	45, 46, 47	nfov 6296	. . . . . . 7 |- F/_ j ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
49	44, 48	nfmpt 4527	. . . . . 6 |- F/_ j ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
50	40, 41, 49	nfov 6296	. . . . 5 |- F/_ j ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
51		nfcv 2616	. . . . 5 |- F/_ m ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
52		sneq 4026	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> { m } = { j } )
53	52	imaeq2d 5325	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) = ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) )
54		oveq1 6277	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
55	53, 54	mpteq12dv 4517	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
56	55	oveq2d 6286	. . . . 5 |- ( m = j -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
57	50, 51, 56	cbvmpt 4529	. . . 4 |- ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
58		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
59		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
60	58, 59	elimasn 5350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
61		opeliunxp 5040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
62	60, 61	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
63	62	baib 901	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> k e. C ) )
64	63	eqrdv 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) = C )
65	64	mpteq1d 4520	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
66		nfcv 2616	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k j
67		nfmpt22 6338	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
68		nfcv 2616	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k n
69	66, 67, 68	nfov 6296	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
70		nfcv 2616	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
71		oveq2 6278	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
72	69, 70, 71	cbvmpt 4529	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
73	65, 72	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
74	73	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
75		simprl 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> j e. A )
76		simprr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> k e. C )
77	33	ovmpt4g 6398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
79	78	anassrs 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
80	79	mpteq2dva 4525	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( k e. C |-> X ) )
81	74, 80	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> X ) )
82	81	oveq2d 6286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) )
83	82	mpteq2dva 4525	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
84	57, 83	syl5eq 2507	. . 3 |- ( ph -> ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
85	84	oveq2d 6286	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )
86	39, 85	eqtrd 2495	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022   U_ciun 4315   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   dom cdm 4988   "cima 4991   Rel wrel 4993   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   Basecbs 14716   0gc0g 14929   gsum_g cgsu 14930  CMndccmn 16997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999

This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  17452  gsumdixp  17453  psrass1lem  18224  gsumcom3  19068  gsummpt2co  28005