Theorem gsum2d2 16464

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that C ( j ) is a function of j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		snex 4531	. . . . . 6 |- { j } e. _V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
7		xpexg 6505	. . . . . 6 |- ( ( { j } e. _V /\ C e. W ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
9	8	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
10		iunexg 6551	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
12		relxp 4945	. . . . . 6 |- Rel ( { j } X. C )
13	12	rgenw 2781	. . . . 5 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
14		reliun 4958	. . . . 5 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
15	13, 14	mpbir 209	. . . 4 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) )
17		vex 2973	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm2 5036	. . . . 5 |- ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
19		eliunxp 4975	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) )
20		vex 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
21	17, 20	opth1 4563	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. -> x = j )
22	21	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x = j )
23		simprrl 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> j e. A )
24	22, 23	eqeltrd 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x e. A )
25	24	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
26	25	exlimdvv 1691	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
27	19, 26	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
28	27	exlimdv 1690	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
29	18, 28	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
30	29	ssrdv 3360	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) C_ A )
31		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
32	31	ralrimivva 2806	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
33		eqid 2441	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
34	33	fmpt2x 6638	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
35	32, 34	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
36		gsum2d2.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. Fin )
37		gsum2d2.n	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 16463	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 16461	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) )
40		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ j G
41		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ j gsumg
42		nfiu1 4198	. . . . . . . 8 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
43		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ j { m }
44	42, 43	nfima 5175	. . . . . . 7 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } )
45		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ j m
46		nfmpt21 6151	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
47		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ j n
48	45, 46, 47	nfov 6112	. . . . . . 7 |- F/_ j ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
49	44, 48	nfmpt 4378	. . . . . 6 |- F/_ j ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
50	40, 41, 49	nfov 6112	. . . . 5 |- F/_ j ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
51		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ m ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
52		sneq 3885	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> { m } = { j } )
53	52	imaeq2d 5167	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) = ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) )
54		oveq1 6096	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
55	53, 54	mpteq12dv 4368	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
56	55	oveq2d 6105	. . . . 5 |- ( m = j -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
57	50, 51, 56	cbvmpt 4380	. . . 4 |- ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
58		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
59		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
60	58, 59	elimasn 5192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
61		opeliunxp 4888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
62	60, 61	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
63	62	baib 896	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> k e. C ) )
64	63	eqrdv 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) = C )
65	64	mpteq1d 4371	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
66		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k j
67		nfmpt22 6152	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
68		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k n
69	66, 67, 68	nfov 6112	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
70		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
71		oveq2 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
72	69, 70, 71	cbvmpt 4380	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
73	65, 72	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
74	73	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
75		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> j e. A )
76		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> k e. C )
77	33	ovmpt4g 6211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
79	78	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
80	79	mpteq2dva 4376	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( k e. C |-> X ) )
81	74, 80	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> X ) )
82	81	oveq2d 6105	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) )
83	82	mpteq2dva 4376	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
84	57, 83	syl5eq 2485	. . 3 |- ( ph -> ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
85	84	oveq2d 6105	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )
86	39, 85	eqtrd 2473	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970   {csn 3875   <.cop 3881   U_ciun 4169   class class class wbr 4290   e. cmpt 4348   X. cxp 4836   dom cdm 4838   "cima 4841   Rel wrel 4843   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   e. cmpt2 6091   Fincfn 7308   Basecbs 14172   0gc0g 14376   gsum_g cgsu 14377  CMndccmn 16275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277

This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  16698  gsumdixp  16699  psrass1lem  17445  gsumcom3  18297  gsummpt2co  26247