Theorem gsum2d2 16805

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that C ( j ) is a function of j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		snex 4688	. . . . . 6 |- { j } e. _V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
7		xpexg 6586	. . . . . 6 |- ( ( { j } e. _V /\ C e. W ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
9	8	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
10		iunexg 6760	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
12		relxp 5110	. . . . . 6 |- Rel ( { j } X. C )
13	12	rgenw 2825	. . . . 5 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
14		reliun 5123	. . . . 5 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
15	13, 14	mpbir 209	. . . 4 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) )
17		vex 3116	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm2 5201	. . . . 5 |- ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
19		eliunxp 5140	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) )
20		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
21	17, 20	opth1 4720	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. -> x = j )
22	21	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x = j )
23		simprrl 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> j e. A )
24	22, 23	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x e. A )
25	24	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
26	25	exlimdvv 1701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
27	19, 26	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
28	27	exlimdv 1700	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
29	18, 28	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
30	29	ssrdv 3510	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) C_ A )
31		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
32	31	ralrimivva 2885	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
33		eqid 2467	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
34	33	fmpt2x 6850	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
35	32, 34	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
36		gsum2d2.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. Fin )
37		gsum2d2.n	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 16804	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 16802	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) )
40		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ j G
41		nfcv 2629	. . . . . 6 |- F/_ j gsumg
42		nfiu1 4355	. . . . . . . 8 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
43		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ j { m }
44	42, 43	nfima 5345	. . . . . . 7 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } )
45		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ j m
46		nfmpt21 6348	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
47		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ j n
48	45, 46, 47	nfov 6307	. . . . . . 7 |- F/_ j ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
49	44, 48	nfmpt 4535	. . . . . 6 |- F/_ j ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
50	40, 41, 49	nfov 6307	. . . . 5 |- F/_ j ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
51		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ m ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
52		sneq 4037	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> { m } = { j } )
53	52	imaeq2d 5337	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) = ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) )
54		oveq1 6291	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
55	53, 54	mpteq12dv 4525	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
56	55	oveq2d 6300	. . . . 5 |- ( m = j -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
57	50, 51, 56	cbvmpt 4537	. . . 4 |- ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
58		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
59		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
60	58, 59	elimasn 5362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
61		opeliunxp 5051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
62	60, 61	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
63	62	baib 901	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> k e. C ) )
64	63	eqrdv 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) = C )
65	64	mpteq1d 4528	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
66		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k j
67		nfmpt22 6349	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
68		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k n
69	66, 67, 68	nfov 6307	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
70		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
71		oveq2 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
72	69, 70, 71	cbvmpt 4537	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
73	65, 72	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
74	73	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
75		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> j e. A )
76		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> k e. C )
77	33	ovmpt4g 6409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
79	78	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
80	79	mpteq2dva 4533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( k e. C |-> X ) )
81	74, 80	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> X ) )
82	81	oveq2d 6300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) )
83	82	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
84	57, 83	syl5eq 2520	. . 3 |- ( ph -> ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
85	84	oveq2d 6300	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )
86	39, 85	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999   "cima 5002   Rel wrel 5004   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   Fincfn 7516   Basecbs 14490   0gc0g 14695   gsum_g cgsu 14696  CMndccmn 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606

This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  17058  gsumdixp  17059  psrass1lem  17828  gsumcom3  18696  gsummpt2co  27462