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Theorem gsum2d2 17617
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that  C ( j ) is a function of  j.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4614 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 6581 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 6757 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 relxp 4920 . . . . . 6  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
1312rgenw 2749 . . . . 5  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
14 reliun 4932 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
1513, 14mpbir 214 . . . 4  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
17 vex 3016 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
1817eldm2 5011 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
19 eliunxp 4950 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )
20 vex 3016 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2117, 20opth1 4648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>.  ->  x  =  j )
2221ad2antrl 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  =  j )
23 simprrl 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  j  e.  A )
2422, 23eqeltrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
) )  ->  x  e.  A )
2524ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2625exlimdvv 1784 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  C )
)  ->  x  e.  A ) )
2719, 26syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A
) )
2827exlimdv 1783 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
2918, 28syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  x  e.  A ) )
3029ssrdv 3406 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  C_  A
)
31 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
3231ralrimivva 2795 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
33 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
3433fmpt2x 6847 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
3532, 34sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
36 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
37 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 17616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 17615 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) ) )
40 nfcv 2593 . . . . . 6  |-  F/_ j G
41 nfcv 2593 . . . . . 6  |-  F/_ j  gsumg
42 nfiu1 4278 . . . . . . . 8  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
43 nfcv 2593 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
4442, 43nfima 5154 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )
45 nfcv 2593 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
m
46 nfmpt21 6346 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
47 nfcv 2593 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
n
4845, 46, 47nfov 6302 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
4944, 48nfmpt 4463 . . . . . 6  |-  F/_ j
( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5040, 41, 49nfov 6302 . . . . 5  |-  F/_ j
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
51 nfcv 2593 . . . . 5  |-  F/_ m
( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
52 sneq 3946 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  { m }  =  { j } )
5352imaeq2d 5146 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  =  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
" { j } ) )
54 oveq1 6283 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )
5553, 54mpteq12dv 4453 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
5655oveq2d 6292 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
5750, 51, 56cbvmpt 4466 . . . 4  |-  ( m  e.  A  |->  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )
58 vex 3016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
59 vex 3016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
6058, 59elimasn 5171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
61 opeliunxp 4864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6260, 61bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) " { j } )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
6362baib 916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  (
k  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  <->  k  e.  C ) )
6463eqrdv 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  A  ->  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  =  C )
6564mpteq1d 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )
66 nfcv 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
j
67 nfmpt22 6347 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
68 nfcv 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
n
6966, 67, 68nfov 6302 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )
70 nfcv 2593 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
71 oveq2 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7269, 70, 71cbvmpt 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
7365, 72syl6eq 2502 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  A  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
7473adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
75 simprl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j  e.  A )
76 simprr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
k  e.  C )
7733ovmpt4g 6407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7875, 76, 31, 77syl3anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
7978anassrs 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
8079mpteq2dva 4461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8174, 80eqtrd 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
n  e.  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) )  =  ( k  e.  C  |->  X ) )
8281oveq2d 6292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) )
8382mpteq2dva 4461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
j } )  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8457, 83syl5eq 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )
8584oveq2d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( n  e.  (
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) " {
m } )  |->  ( m ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) n ) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
8639, 85eqtrd 2486 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1448   E.wex 1667    e. wcel 1891   A.wral 2737   _Vcvv 3013   {csn 3936   <.cop 3942   U_ciun 4248   class class class wbr 4374    |-> cmpt 4433    X. cxp 4810   dom cdm 4812   "cima 4815   Rel wrel 4817   -->wf 5557   ` cfv 5561  (class class class)co 6276    |-> cmpt2 6278   Fincfn 7556   Basecbs 15132   0gc0g 15349    gsumg cgsu 15350  CMndccmn 17441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-hash 12510  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443
This theorem is referenced by:  gsumdixp  17848  psrass1lem  18612  gsumcom3  19435  gsummpt2co  28550
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