Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Structured version   Unicode version

Theorem gsum2d 16783
 Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b
gsum2d.z
gsum2d.g CMnd
gsum2d.a
gsum2d.r
gsum2d.d
gsum2d.s
gsum2d.f
gsum2d.w finSupp
Assertion
Ref Expression
gsum2d g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3
2 gsum2d.z . . 3
3 gsum2d.g . . 3 CMnd
4 gsum2d.a . . 3
5 gsum2d.r . . 3
6 gsum2d.d . . 3
7 gsum2d.s . . 3
8 gsum2d.f . . 3
9 gsum2d.w . . 3 finSupp
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 16782 . 2 g supp g supp g
11 suppssdm 6904 . . . . . 6 supp
12 fdm 5726 . . . . . . 7
138, 12syl 16 . . . . . 6
1411, 13syl5sseq 3545 . . . . 5 supp
15 relss 5081 . . . . . . 7 supp supp
1614, 5, 15sylc 60 . . . . . 6 supp
17 relssdmrn 5519 . . . . . . 7 supp supp supp supp
18 ssv 3517 . . . . . . . 8 supp
19 xpss2 5103 . . . . . . . 8 supp supp supp supp
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 supp supp supp
2117, 20syl6ss 3509 . . . . . 6 supp supp supp
2216, 21syl 16 . . . . 5 supp supp
2314, 22ssind 3715 . . . 4 supp supp
24 df-res 5004 . . . 4 supp supp
2523, 24syl6sseqr 3544 . . 3 supp supp
261, 2, 3, 4, 8, 25, 9gsumres 16705 . 2 g supp g
27 dmss 5193 . . . . . . 7 supp supp
2814, 27syl 16 . . . . . 6 supp
2928, 7sstrd 3507 . . . . 5 supp
30 resmpt 5314 . . . . 5 supp g supp supp g
3129, 30syl 16 . . . 4 g supp supp g
3231oveq2d 6291 . . 3 g g supp g supp g
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 16781 . . . . . 6 g
3433adantr 465 . . . . 5 g
35 eqid 2460 . . . . 5 g g
3634, 35fmptd 6036 . . . 4 g
37 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14
38 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38elimasn 5353 . . . . . . . . . . . . 13
4039biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 supp
42 eldifn 3620 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
4437, 38opeldm 5197 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
4543, 44nsyl 121 . . . . . . . . . . 11 supp supp
4641, 45eldifd 3480 . . . . . . . . . 10 supp supp
47 df-ov 6278 . . . . . . . . . . 11
48 ssid 3516 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
50 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . 14
512, 50eqeltri 2544 . . . . . . . . . . . . 13
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
538, 49, 4, 52suppssr 6921 . . . . . . . . . . 11 supp
5447, 53syl5eq 2513 . . . . . . . . . 10 supp
5546, 54syldan 470 . . . . . . . . 9 supp
5655anassrs 648 . . . . . . . 8 supp
5756mpteq2dva 4526 . . . . . . 7 supp
5857oveq2d 6291 . . . . . 6 supp g g
59 cmnmnd 16602 . . . . . . . . 9 CMnd
603, 59syl 16 . . . . . . . 8
61 imaexg 6711 . . . . . . . . 9
624, 61syl 16 . . . . . . . 8
632gsumz 15817 . . . . . . . 8 g
6460, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . 7 g
6564adantr 465 . . . . . 6 supp g
6658, 65eqtrd 2501 . . . . 5 supp g
6766, 6suppss2 6924 . . . 4 g supp supp
68 funmpt 5615 . . . . . 6 g
6968a1i 11 . . . . 5 g
709fsuppimpd 7825 . . . . . . 7 supp
71 dmfi 7792 . . . . . . 7 supp supp
7270, 71syl 16 . . . . . 6 supp
73 ssfi 7730 . . . . . 6 supp g supp supp g supp
7472, 67, 73syl2anc 661 . . . . 5 g supp
75 mptexg 6121 . . . . . . 7 g
766, 75syl 16 . . . . . 6 g
77 isfsupp 7822 . . . . . 6 g g finSupp g g supp
7876, 52, 77syl2anc 661 . . . . 5 g finSupp g g supp
7969, 74, 78mpbir2and 915 . . . 4 g finSupp
801, 2, 3, 6, 36, 67, 79gsumres 16705 . . 3 g g supp g g
8132, 80eqtr3d 2503 . 2 g supp g g g
8210, 26, 813eqtr3d 2509 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  cvv 3106   cdif 3466   cin 3468   wss 3469  csn 4020  cop 4026   class class class wbr 4440   cmpt 4498   cxp 4990   cdm 4992   crn 4993   cres 4994  cima 4995   wrel 4997   wfun 5573  wf 5575  cfv 5579  (class class class)co 6275   supp csupp 6891  cfn 7506   finSupp cfsupp 7818  cbs 14479  c0g 14684   g cgsu 14685  cmnd 15715  CMndccmn 16587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589 This theorem is referenced by:  gsum2d2  16786  gsumxp  16788
 Copyright terms: Public domain W3C validator