Theorem gsum0 16229

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsum0	|- ( G gsumg (/) ) = .0.

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables f g m n o w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2402	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2402	. . 3 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		id 22	. . 3 |- ( G e. _V -> G e. _V )
6		0ex 4526	. . . 4 |- (/) e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) e. _V )
8		f0 5749	. . . 4 |- (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 16228	. 2 |- ( G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
11		df-gsum 15057	. . . . 5 |- gsumg = ( w e. _V , f e. _V |-> [_ { x e. ( Base ` w ) | A. y e. ( Base ` w ) ( ( x ( +g ` w ) y ) = y /\ ( y ( +g ` w ) x ) = y ) } / o ]_ if ( ran f C_ o , ( 0g ` w ) , if ( dom f e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom f = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` w ) , f ) ` n ) ) ) , ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V \ o ) ) / y ]. ( g : ( 1 ... ( # ` y ) ) -1-1-onto-> y /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` w ) , ( f o. g ) ) ` ( # ` y ) ) ) ) ) ) )
12	11	reldmmpt2 6394	. . . 4 |- Rel dom gsumg
13	12	ovprc1 6309	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = (/) )
14		fvprc 5843	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( 0g ` G ) = (/) )
15	2, 14	syl5eq 2455	. . 3 |- ( -. G e. _V -> .0. = (/) )
16	13, 15	eqtr4d 2446	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
17	10, 16	pm2.61i 164	1 |- ( G gsumg (/) ) = .0.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059   [.wsbc 3277   [_csb 3373   \ cdif 3411   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826   o. ccom 4827   iotacio 5531   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   seqcseq 12151   #chash 12452   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   gsum_g cgsu 15055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seq 12152  df-gsum 15057

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  16330  gsumccat  16333  gsumwmhm  16337  gsumwspan  16338  frmdgsum  16354  frmdup1  16356  gsumwrev  16725  gsmsymgrfix  16777  gsmsymgreq  16781  psgnunilem2  16844  psgn0fv0  16860  psgnsn  16869  psgnprfval1  16871  gsumconst  17277  mplmonmul  18446  mplcoe1  18447  mplcoe5  18451  mplcoe2OLD  18453  coe1fzgsumd  18664  evl1gsumd  18713  gsumfsum  18804  mdet0pr  19386  madugsum  19437  tmdgsum  20886  xrge0gsumle  21630  xrge0tsms  21631  jensen  23644  gsumle  28221  gsumvsca1  28225  gsumvsca2  28226  xrge0tsmsd  28228  esumnul  28495  esumsnf  28511  sitg0  28794  mrsub0  29728  lincval0  38527