Theorem gsum0 15820

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsum0	|- ( G gsumg (/) ) = .0.

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables f g m n o w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2467	. . 3 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		id 22	. . 3 |- ( G e. _V -> G e. _V )
6		0ex 4577	. . . 4 |- (/) e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) e. _V )
8		f0 5764	. . . 4 |- (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 15819	. 2 |- ( G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
11		df-gsum 14691	. . . . 5 |- gsumg = ( w e. _V , f e. _V |-> [_ { x e. ( Base ` w ) | A. y e. ( Base ` w ) ( ( x ( +g ` w ) y ) = y /\ ( y ( +g ` w ) x ) = y ) } / o ]_ if ( ran f C_ o , ( 0g ` w ) , if ( dom f e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom f = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` w ) , f ) ` n ) ) ) , ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V \ o ) ) / y ]. ( g : ( 1 ... ( # ` y ) ) -1-1-onto-> y /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` w ) , ( f o. g ) ) ` ( # ` y ) ) ) ) ) ) )
12	11	reldmmpt2 6395	. . . 4 |- Rel dom gsumg
13	12	ovprc1 6310	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = (/) )
14		fvprc 5858	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( 0g ` G ) = (/) )
15	2, 14	syl5eq 2520	. . 3 |- ( -. G e. _V -> .0. = (/) )
16	13, 15	eqtr4d 2511	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
17	10, 16	pm2.61i 164	1 |- ( G gsumg (/) ) = .0.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331   [_csb 3435   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   o. ccom 5003   iotacio 5547   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   seqcseq 12070   #chash 12367   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   gsum_g cgsu 14689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seq 12071  df-gsum 14691

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  15826  gsumccat  15829  gsumwmhm  15833  gsumwspan  15834  frmdgsum  15850  frmdup1  15852  gsumwrev  16193  gsmsymgrfix  16245  gsmsymgreq  16249  psgnunilem2  16313  psgn0fv0  16329  psgnsn  16338  psgnprfval1  16340  gsumconst  16742  mplmonmul  17894  mplcoe1  17895  mplcoe5  17899  mplcoe2OLD  17901  coe1fzgsumd  18112  evl1gsumd  18161  gsumfsum  18249  mdet0pr  18858  madugsum  18909  tmdgsum  20326  xrge0gsumle  21070  xrge0tsms  21071  jensen  23043  gsumle  27430  gsumvsca1  27433  gsumvsca2  27434  xrge0tsmsd  27435  esumnul  27696  esumsn  27709  sitg0  27925  lincval0  32089