Theorem gsum0 15632

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsum0	|- ( G gsumg (/) ) = .0.

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables f g m n o w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsum0.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2454	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2454	. . 3 |- { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } = { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
5		id 22	. . 3 |- ( G e. _V -> G e. _V )
6		0ex 4533	. . . 4 |- (/) e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) e. _V )
8		f0 5703	. . . 4 |- (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) }
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( G e. _V -> (/) : (/) --> { x e. ( Base ` G ) | A. y e. ( Base ` G ) ( ( x ( +g ` G ) y ) = y /\ ( y ( +g ` G ) x ) = y ) } )
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 15631	. 2 |- ( G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
11		df-gsum 14503	. . . . 5 |- gsumg = ( w e. _V , f e. _V |-> [_ { x e. ( Base ` w ) | A. y e. ( Base ` w ) ( ( x ( +g ` w ) y ) = y /\ ( y ( +g ` w ) x ) = y ) } / o ]_ if ( ran f C_ o , ( 0g ` w ) , if ( dom f e. ran ... , ( iota x E. m E. n e. ( ZZ>= ` m ) ( dom f = ( m ... n ) /\ x = ( seq m ( ( +g ` w ) , f ) ` n ) ) ) , ( iota x E. g [. ( `' f " ( _V \ o ) ) / y ]. ( g : ( 1 ... ( # ` y ) ) -1-1-onto-> y /\ x = ( seq 1 ( ( +g ` w ) , ( f o. g ) ) ` ( # ` y ) ) ) ) ) ) )
12	11	reldmmpt2 6314	. . . 4 |- Rel dom gsumg
13	12	ovprc1 6231	. . 3 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = (/) )
14		fvprc 5796	. . . 4 |- ( -. G e. _V -> ( 0g ` G ) = (/) )
15	2, 14	syl5eq 2507	. . 3 |- ( -. G e. _V -> .0. = (/) )
16	13, 15	eqtr4d 2498	. 2 |- ( -. G e. _V -> ( G gsumg (/) ) = .0. )
17	10, 16	pm2.61i 164	1 |- ( G gsumg (/) ) = .0.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078   [.wsbc 3294   [_csb 3398   \ cdif 3436   C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   ran crn 4952   "cima 4954   o. ccom 4955   iotacio 5490   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557   seqcseq 11926   #chash 12223   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seq 11927  df-gsum 14503

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  15638  gsumccat  15641  gsumwmhm  15645  gsumwspan  15646  frmdgsum  15662  frmdup1  15664  gsumwrev  16003  gsmsymgrfix  16055  gsmsymgreq  16059  psgnunilem2  16123  psgn0fv0  16139  psgnsn  16148  psgnprfval1  16150  gsumconst  16552  mplmonmul  17670  mplcoe1  17671  mplcoe5  17675  mplcoe2OLD  17677  evl1gsumd  17919  gsumfsum  18007  mdet0pr  18533  madugsum  18584  tmdgsum  19801  xrge0gsumle  20545  xrge0tsms  20546  jensen  22518  gsumle  26411  gsumvsca1  26416  gsumvsca2  26417  xrge0tsmsd  26418  esumnul  26667  esumsn  26680  sitg0  26896  coe1fzgsumd  31011  lincval0  31101