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Theorem gsmsymgrfixlem1 16431
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 16432. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, K    i, N    P, i    i, W
Allowed substitution hint:    S( i)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 12544 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 elnn0uz 11129 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  <->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
31, 2sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
543ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 fzosplitsn 11900 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  W )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
87raleqdv 3046 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( # `  W ) )  u. 
{ ( # `  W
) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )
91adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
1093ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
11 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( ( W concat  <" P "> ) `  i )  =  ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) )
1211fveq1d 5858 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K ) )
1312eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K )  =  K ) )
1413ralunsn 4222 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
1510, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
17 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  W  e. Word  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  e.  B )
19 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) )
2017, 18, 193jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
22 ccats1val2 12613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) )  =  P )
2322fveq1d 5858 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  ( P `  K
) )
2423eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
2521, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K )  =  K  <-> 
( P `  K
)  =  K ) )
26253adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
2917adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  W  e. Word  B )
3018adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  P  e.  B )
3128, 29, 303jca 1177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
32313adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B
) )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
3634, 35gsumccatsymgsn 16430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) )  =  ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) )
3736fveq1d 5858 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  (
( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) `  K ) )
3833, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K
)  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P
) `  K )
)
3934, 35symgbasf 16388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  B  ->  P : N --> N )
40 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : N --> N  ->  P  Fn  N )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  B  ->  P  Fn  N )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  Fn  N )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  K  e.  N )
4442, 43anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
45443adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( P  Fn  N  /\  K  e.  N ) )
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
47 fvco2 5933 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  Fn  N  /\  K  e.  N )  ->  ( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
49 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  K )  =  K  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5049adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 K ) )
5229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  B )
5330adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  P  e.  B )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
55 ccats1val1 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W concat  <" P "> ) `  i
)  =  ( W `
 i ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W concat  <" P "> ) `  i
)  =  ( W `
 i ) )
5756fveq1d 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `  K )  =  ( ( W `  i
) `  K )
)
5857eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( ( W `
 i ) `  K )  =  K ) )
5958ralbidva 2879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
6160adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( P `
 K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
62613adant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
63 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )
6462, 63syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )
6564imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  W ) `
 K )  =  K )
6651, 65eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  K )
6738, 48, 663eqtrd 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
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( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K
)  =  K )
6867exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( ( P `  K )  =  K  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
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6926, 68sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
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 W ) ) `
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7069com23 78 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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 W ) ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) ) )
7170impd 431 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
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 W ) ) `
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7216, 71sylbid 215 1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    u. cun 3459   {csn 4014    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   NN0cn0 10802   ZZ>=cuz 11092  ..^cfzo 11806   #chash 12387  Word cword 12516   concat cconcat 12518   <"cs1 12519   Basecbs 14614    gsumg cgsu 14820   SymGrpcsymg 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-tset 14698  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-symg 16382
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  16432
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