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Theorem gsmsymgrfixlem1 16242
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 16243. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, K    i, N    P, i    i, W
Allowed substitution hint:    S( i)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 12517 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 elnn0uz 11110 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  <->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
31, 2sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
543ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 fzosplitsn 11877 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  W )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
87raleqdv 3059 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( # `  W ) )  u. 
{ ( # `  W
) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )
91adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
1093ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
11 fveq2 5859 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( ( W concat  <" P "> ) `  i )  =  ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) )
1211fveq1d 5861 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K ) )
1312eqeq1d 2464 . . . . 5  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K )  =  K ) )
1413ralunsn 4228 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
1510, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  /\  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) ) )
17 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  W  e. Word  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  e.  B )
19 eqidd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) )
2017, 18, 193jca 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
22 ccats1val2 12583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) )  =  P )
2322fveq1d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  ( P `  K
) )
2423eqeq1d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
2521, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K )  =  K  <-> 
( P `  K
)  =  K ) )
26253adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( ( W concat  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
2917adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  W  e. Word  B )
3018adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  P  e.  B )
3128, 29, 303jca 1171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
32313adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B
) )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
3634, 35gsumccatsymgsn 16241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) )  =  ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) )
3736fveq1d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  (
( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) `  K ) )
3833, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K
)  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P
) `  K )
)
3934, 35symgbasf 16199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  B  ->  P : N --> N )
40 ffn 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : N --> N  ->  P  Fn  N )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  B  ->  P  Fn  N )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  Fn  N )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  K  e.  N )
4442, 43anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
45443adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( P  Fn  N  /\  K  e.  N ) )
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
47 fvco2 5935 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  Fn  N  /\  K  e.  N )  ->  ( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
49 fveq2 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  K )  =  K  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5049adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 K ) )
5229adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  B )
5330adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  P  e.  B )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
55 ccats1val1 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W concat  <" P "> ) `  i
)  =  ( W `
 i ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W concat  <" P "> ) `  i
)  =  ( W `
 i ) )
5756fveq1d 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `  K )  =  ( ( W `  i
) `  K )
)
5857eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( ( W `
 i ) `  K )  =  K ) )
5958ralbidva 2895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
6160adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( P `
 K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
62613adant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
63 simp3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )
6462, 63syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )
6564imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  W ) `
 K )  =  K )
6651, 65eqtrd 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  K )
6738, 48, 663eqtrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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) ) ( ( ( W concat  <" P "> ) `  i
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( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K
)  =  K )
6867exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( ( P `  K )  =  K  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
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6926, 68sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
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 W ) ) `
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7069com23 78 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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 W ) ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) ) )
7170impd 431 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
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 W ) ) `
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7216, 71sylbid 215 1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W concat  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809    u. cun 3469   {csn 4022    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   NN0cn0 10786   ZZ>=cuz 11073  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   concat cconcat 12491   <"cs1 12492   Basecbs 14481    gsumg cgsu 14687   SymGrpcsymg 16192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-tset 14565  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-symg 16193
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  16243
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