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Theorem gsmsymgrfixlem1 16774
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 16775. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  ( W ++  <" P "> ) ) `  K )  =  K ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, K    i, N    P, i    i, W
Allowed substitution hint:    S( i)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 12612 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 elnn0uz 11163 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  <->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
31, 2sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  B  ->  ( # `
 W )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
43adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
543ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 fzosplitsn 11953 . . . . 5  |-  ( (
# `  W )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  W )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) )
87raleqdv 3009 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( # `  W ) )  u. 
{ ( # `  W
) } ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K ) )
91adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
1093ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
11 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( ( W ++  <" P "> ) `  i )  =  ( ( W ++ 
<" P "> ) `  ( # `  W
) ) )
1211fveq1d 5850 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  ( ( ( W ++  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K ) )
1312eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( i  =  ( # `  W
)  ->  ( (
( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  <->  ( (
( W ++  <" P "> ) `  ( # `
 W ) ) `
 K )  =  K ) )
1413ralunsn 4178 . . . 4  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  /\  ( ( ( W ++ 
<" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K ) ) )
1510, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  W
) )  u.  {
( # `  W ) } ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  /\  ( ( ( W ++ 
<" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K ) ) )
168, 15bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  +  1 ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  /\  ( ( ( W ++ 
<" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K ) ) )
17 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  W  e. Word  B )
18 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  e.  B )
19 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) )
2017, 18, 193jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
2120adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
22 ccats1val2 12683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( W ++  <" P "> ) `  ( # `
 W ) )  =  P )
2322fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( W ++  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  ( P `
 K ) )
2423eqeq1d 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( W ++ 
<" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
2521, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( ( W ++  <" P "> ) `  ( # `  W ) ) `  K )  =  K  <-> 
( P `  K
)  =  K ) )
26253adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( (
( ( W ++  <" P "> ) `  ( # `  W
) ) `  K
)  =  K  <->  ( P `  K )  =  K ) )
27 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  N  e.  Fin )
2917adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  W  e. Word  B )
3018adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  ->  P  e.  B )
3128, 29, 303jca 1177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
32313adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B
) )
3332adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )
)
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
3634, 35gsumccatsymgsn 16773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( W ++  <" P "> ) )  =  ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) )
3736fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  (
( S  gsumg  ( W ++  <" P "> ) ) `  K )  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P ) `  K ) )
3833, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( W ++ 
<" P "> ) ) `  K
)  =  ( ( ( S  gsumg  W )  o.  P
) `  K )
)
3934, 35symgbasf 16731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  B  ->  P : N --> N )
40 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P : N --> N  ->  P  Fn  N )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  B  ->  P  Fn  N )
4241adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B )  ->  P  Fn  N )
43 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  K  e.  N )
4442, 43anim12i 564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
45443adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  ->  ( P  Fn  N  /\  K  e.  N ) )
4645adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( P  Fn  N  /\  K  e.  N
) )
47 fvco2 5923 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  Fn  N  /\  K  e.  N )  ->  ( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
4846, 47syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( ( S 
gsumg  W )  o.  P
) `  K )  =  ( ( S 
gsumg  W ) `  ( P `  K )
) )
49 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  K )  =  K  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5049adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  ( P `  K )
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  K
) )
5150adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )  /\  ( ( P `  K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
) `  K )  =  K ) )  -> 
( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 K ) )
5229adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  B )
5330adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  P  e.  B )
54 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
55 ccats1val1 12682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W ++  <" P "> ) `  i )  =  ( W `  i ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W ++  <" P "> ) `  i )  =  ( W `  i ) )
5756fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W ++ 
<" P "> ) `  i ) `  K )  =  ( ( W `  i
) `  K )
)
5857eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `
 K )  =  K  <->  ( ( W `
 i ) `  K )  =  K ) )
5958ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( W `  i
) `  K )  =  K ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K ) )
6160adantld 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N ) )  -> 
( ( ( P `
 K )  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
)  =  K )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K ) )
62613adant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
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( P `  K
)  =  K  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i
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) `  K )  =  K ) )
63 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
)  /\  ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
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) ) ( ( W `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  K
)  =  K ) )
6462, 63syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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( P `  K
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( S  gsumg  W ) `  K
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6564imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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0..^ ( # `  W
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( ( S  gsumg  W ) `
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6651, 65eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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( ( S  gsumg  W ) `
 ( P `  K ) )  =  K )
6738, 48, 663eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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( ( S  gsumg  ( W ++ 
<" P "> ) ) `  K
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6867exp32 603 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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6926, 68sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( W ++  <" P "> ) `  i ) `  K
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( ( S  gsumg  ( W ++ 
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7069com23 78 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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7170impd 429 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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7216, 71sylbid 215 1  |-  ( ( ( W  e. Word  B  /\  P  e.  B
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    u. cun 3411   {csn 3971    o. ccom 4826    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   NN0cn0 10835   ZZ>=cuz 11126  ..^cfzo 11852   #chash 12450  Word cword 12581   ++ cconcat 12583   <"cs1 12584   Basecbs 14839    gsumg cgsu 15053   SymGrpcsymg 16724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-word 12589  df-concat 12591  df-s1 12592  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-symg 16725
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  16775
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