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Theorem gsmsymgreqlem2 16434
Description: Lemma 2 for gsmsymgreq 16435. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, N    P, i    n, I   
n, X    C, n    R, n    S, n    n, Y   
n, Z    B, n    C, i, n    i, I   
n, M    n, N    P, n    R, i    i, X   
i, Y
Allowed substitution hints:    S( i)    M( i)    Z( i)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatws1len 12607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( # `  X
)  +  1 ) )
213ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( # `
 ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( # `  X
)  +  1 ) )
32oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) ) )
4 lencl 12543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e. Word  B  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
5 elnn0uz 11128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  <->  ( # `  X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
64, 5sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e. Word  B  ->  ( # `
 X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
8 fzosplitsn 11899 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  X )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) )
1093ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X ) )  u. 
{ ( # `  X
) } ) )
113, 10eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) )  =  ( ( 0..^ (
# `  X )
)  u.  { (
# `  X ) } ) )
1211raleqdv 3046 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ (
# `  X )
)  u.  { (
# `  X ) } ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n ) ) )
134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
14133ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
15 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( ( X concat  <" C "> ) `  i )  =  ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) )
1615fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X ) ) `  n ) )
17 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( ( Y concat  <" R "> ) `  i )  =  ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) )
1817fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( Y concat  <" R "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X ) ) `  n ) )
1916, 18eqeq12d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2882 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) )
2120ralunsn 4222 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) ) )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( # `  X ) )  u. 
{ ( # `  X
) } ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  X  e. Word  B )
24233ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  X  e. Word  B )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  X  e. Word  B
)
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
27263ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  C  e.  B )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  C  e.  B
)
29 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) )
30 ccats1val1 12611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) )  -> 
( ( X concat  <" C "> ) `  i
)  =  ( X `
 i ) )
3125, 28, 29, 30syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( X concat  <" C "> ) `  i )  =  ( X `  i ) )
3231fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  i ) `
 n )  =  ( ( X `  i ) `  n
) )
33 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  Y  e. Word  P
)
34 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  R  e.  P
)
35 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( 0..^ ( # `  X
) )  =  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )
3635eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) ) )
3736biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) ) )
38373ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y ) ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )
40 ccats1val1 12611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( Y concat  <" R "> ) `  i
)  =  ( Y `
 i ) )
4133, 34, 39, 40syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( Y concat  <" R "> ) `  i )  =  ( Y `  i ) )
4241fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  =  ( ( Y `  i ) `  n
) )
4332, 42eqeq12d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )
) )
4443ralbidv 2882 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )
) )
4544ralbidva 2879 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n ) ) )
46 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  =  ( # `  X ) )
4723, 26, 463jca 1177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  X ) ) )
48473ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  X
) ) )
49 ccats1val2 12612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `  X )  =  ( # `  X
) )  ->  (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) )  =  C )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) )  =  C )
5150fveq1d 5858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( C `  n
) )
52 df-3an 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  <->  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
5352biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P
)  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  Y ) )  -> 
( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  Y ) ) )
54533adant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
55 ccats1val2 12612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) )  =  R )
5655fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( R `  n
) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( R `  n
) )
5851, 57eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
)  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  <->  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
5958ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
)  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
6045, 59anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
6112, 22, 603bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
6261ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
63 pm3.35 587 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )
64 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  X ) `  j
) )
65 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( Z  gsumg  Y ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
6664, 65eqeq12d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) ) )
6766cbvralv 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  <->  A. j  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 j )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 j ) )
68 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  N  e.  Fin )
69 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  M  e.  Fin )
70 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  I )
7168, 69, 703jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I )
)
73 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  ->  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
7675anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( A. j  e.  I  ( ( S 
gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
77 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
78 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
79 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
80 gsmsymgreq.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( Base `  Z
)
81 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
8277, 78, 79, 80, 81gsmsymgreqlem1 16433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. j  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 j )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 j )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) )
8472, 73, 76, 83syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  (
( C `  n
)  =  ( R `
 n )  -> 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8685ralimdva 2851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  ->  ( A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8786expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
8867, 87sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
8988com23 78 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  ->  ( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9063, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9190impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9291com13 80 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  /\  A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9392imp 429 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
9462, 93sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
9594ex 434 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    u. cun 3459    i^i cin 3460   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   NN0cn0 10802   ZZ>=cuz 11091  ..^cfzo 11805   #chash 12386  Word cword 12515   concat cconcat 12517   <"cs1 12518   Basecbs 14613    gsumg cgsu 14819   SymGrpcsymg 16380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-tset 14697  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-symg 16381
This theorem is referenced by:  gsmsymgreq  16435
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