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Theorem gsmsymgreqlem2 16246
Description: Lemma 2 for gsmsymgreq 16247. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, N    P, i    n, I   
n, X    C, n    R, n    S, n    n, Y   
n, Z    B, n    C, i, n    i, I   
n, M    n, N    P, n    R, i    i, X   
i, Y
Allowed substitution hints:    S( i)    M( i)    Z( i)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatws1len 12578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( # `  X
)  +  1 ) )
213ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( # `
 ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( # `  X
)  +  1 ) )
32oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) ) )
4 lencl 12517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e. Word  B  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
5 elnn0uz 11110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  <->  ( # `  X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
64, 5sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e. Word  B  ->  ( # `
 X )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
8 fzosplitsn 11877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  X )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( 0..^ ( (
# `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) )
1093ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  X )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( # `  X ) )  u. 
{ ( # `  X
) } ) )
113, 10eqtrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) )  =  ( ( 0..^ (
# `  X )
)  u.  { (
# `  X ) } ) )
1211raleqdv 3059 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ (
# `  X )
)  u.  { (
# `  X ) } ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n ) ) )
134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  e.  NN0 )
14133ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( # `
 X )  e. 
NN0 )
15 fveq2 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( ( X concat  <" C "> ) `  i )  =  ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) )
1615fveq1d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X ) ) `  n ) )
17 fveq2 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( ( Y concat  <" R "> ) `  i )  =  ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) )
1817fveq1d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( Y concat  <" R "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X ) ) `  n ) )
1916, 18eqeq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) )
2019ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( # `  X
)  ->  ( A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) )
2120ralunsn 4228 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  ( (
0..^ ( # `  X
) )  u.  {
( # `  X ) } ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) ) )
2214, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( # `  X ) )  u. 
{ ( # `  X
) } ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) ) ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  X  e. Word  B )
24233ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  X  e. Word  B )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  X  e. Word  B
)
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
27263ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  C  e.  B )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  C  e.  B
)
29 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) )
30 ccats1val1 12582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) )  -> 
( ( X concat  <" C "> ) `  i
)  =  ( X `
 i ) )
3125, 28, 29, 30syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( X concat  <" C "> ) `  i )  =  ( X `  i ) )
3231fveq1d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  i ) `
 n )  =  ( ( X `  i ) `  n
) )
33 simpl2l 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  Y  e. Word  P
)
34 simpl2r 1045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  R  e.  P
)
35 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( 0..^ ( # `  X
) )  =  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )
3635eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) ) )
3736biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  X )  =  ( # `  Y
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) ) )
38373ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y ) ) ) )
3938imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )
40 ccats1val1 12582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( Y concat  <" R "> ) `  i
)  =  ( Y `
 i ) )
4133, 34, 39, 40syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( Y concat  <" R "> ) `  i )  =  ( Y `  i ) )
4241fveq1d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  =  ( ( Y `  i ) `  n
) )
4332, 42eqeq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( ( ( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )
) )
4443ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) )  ->  ( A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )
) )
4544ralbidva 2895 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( (
( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n ) ) )
46 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  X
)  =  ( # `  X ) )
4723, 26, 463jca 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  X ) ) )
48473ad2ant1 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  X
) ) )
49 ccats1val2 12583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B  /\  ( # `  X )  =  ( # `  X
) )  ->  (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) )  =  C )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) )  =  C )
5150fveq1d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( C `  n
) )
52 df-3an 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  <->  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
5352biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P
)  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  Y ) )  -> 
( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X
)  =  ( # `  Y ) ) )
54533adant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
55 ccats1val2 12583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) )  =  R )
5655fveq1d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P  /\  ( # `  X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( R `  n
) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( R `  n
) )
5851, 57eqeq12d 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
)  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  <->  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
5958ralbidv 2898 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
)  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
6045, 59anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  /\  A. n  e.  I  ( ( ( X concat  <" C "> ) `  ( # `
 X ) ) `
 n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  ( # `  X
) ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
6112, 22, 603bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
6261ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) ) ) )
63 pm3.35 587 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )
64 fveq2 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  X ) `  j
) )
65 fveq2 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  (
( Z  gsumg  Y ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
6664, 65eqeq12d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) ) )
6766cbvralv 3083 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  <->  A. j  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 j )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 j ) )
68 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  N  e.  Fin )
69 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  M  e.  Fin )
70 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  n  e.  I )
7168, 69, 703jca 1171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I )
)
73 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  ->  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )
7675anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( A. j  e.  I  ( ( S 
gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )
77 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
78 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
79 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
80 gsmsymgreq.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( Base `  Z
)
81 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
8277, 78, 79, 80, 81gsmsymgreqlem1 16245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  n  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. j  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 j )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 j )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) )
8472, 73, 76, 83syl21anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  /\  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  /\  n  e.  I )  ->  (
( C `  n
)  =  ( R `
 n )  -> 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8685ralimdva 2867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  A. j  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
) )  ->  ( A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
8786expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  j
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  j
)  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
8867, 87sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  ->  ( (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
8988com23 78 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  I  (
( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  ->  ( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9063, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9190impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9291com13 80 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  /\  A. n  e.  I  ( C `  n )  =  ( R `  n ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
9392imp 429 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  /\  A. n  e.  I 
( C `  n
)  =  ( R `
 n ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
9462, 93sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  (
( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X
) ) A. n  e.  I  ( ( X `  i ) `  n )  =  ( ( Y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) )
9594ex 434 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  X ) ) A. n  e.  I  (
( X `  i
) `  n )  =  ( ( Y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  ( X concat  <" C "> ) ) ) A. n  e.  I  (
( ( X concat  <" C "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( Y concat  <" R "> ) `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809    u. cun 3469    i^i cin 3470   {csn 4022   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   NN0cn0 10786   ZZ>=cuz 11073  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   concat cconcat 12491   <"cs1 12492   Basecbs 14481    gsumg cgsu 14687   SymGrpcsymg 16192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-tset 14565  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-symg 16193
This theorem is referenced by:  gsmsymgreq  16247
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