Theorem gsmsymgreqlem1 16023

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 16025. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	|- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b	|- B = ( Base ` S )
gsmsymgreq.z	|- Z = ( SymGrp ` M )
gsmsymgreq.p	|- P = ( Base ` Z )
gsmsymgreq.i	|- I = ( N i^i M )

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) ` J ) ) )

Distinct variable groups:   n, I   n, X   C, n   n, J   R, n   S, n   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   B( n)   P( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> C e. B )
2		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P ) -> R e. P )
3	1, 2	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
4	3	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
5	4	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
7		simpll3 1029	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> J e. I )
8		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
9	8	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
10		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) )
11	10	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) )
12	7, 9, 11	3jca 1168	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) )
13		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 |- S = ( SymGrp ` N )
14		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
15		gsmsymgreq.z	. . . . 5 |- Z = ( SymGrp ` M )
16		gsmsymgreq.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` Z )
17		gsmsymgreq.i	. . . . 5 |- I = ( N i^i M )
18	13, 14, 15, 16, 17	fvcosymgeq 16022	. . . 4 |- ( ( C e. B /\ R e. P ) -> ( ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) ) )
19	6, 12, 18	sylc 60	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
20		simpl1 991	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> N e. Fin )
21		simpr1l 1045	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> X e. Word B )
22		simpr1r 1046	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> C e. B )
23	20, 21, 22	3jca 1168	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
24	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
25	13, 14	gsumccatsymgsn 16019	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) -> ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
27	26	fveq1d 5777	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) ` J ) = ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) )
28		simpl2 992	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> M e. Fin )
29		simpr2l 1047	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> Y e. Word P )
30		simpr2r 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> R e. P )
31	28, 29, 30	3jca 1168	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
32	31	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
33	15, 16	gsumccatsymgsn 16019	. . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) -> ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
34	32, 33	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
35	34	fveq1d 5777	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
36	19, 27, 35	3eqtr4d 2500	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) ` J ) )
37	36	ex 434	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X concat <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y concat <" R "> ) ) ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1757   A.wral 2792   i^i cin 3411   o. ccom 4928   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Fincfn 7396   #chash 12190  Word cword 12309   concat cconcat 12311   <"cs1 12312   Basecbs 14262   gsum_g cgsu 14467   SymGrpcsymg 15970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-word 12317  df-concat 12319  df-s1 12320  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-tset 14345  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-symg 15971

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  16024