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Theorem gsmsymgreqlem1 16582
Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 16584. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X ++  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y ++  <" R "> ) ) `  J ) ) )
Distinct variable groups:    n, I    n, X    C, n    n, J    R, n    S, n    n, Y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( n)    P( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  ->  R  e.  P )
31, 2anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P ) )  -> 
( C  e.  B  /\  R  e.  P
) )
433adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( C  e.  B  /\  R  e.  P )
)
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( C  e.  B  /\  R  e.  P
) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( C  e.  B  /\  R  e.  P ) )
7 simpll3 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  J  e.  I
)
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  -> 
( C `  J
)  =  ( R `
 J ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )
10 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )
117, 9, 103jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( J  e.  I  /\  ( C `
 J )  =  ( R `  J
)  /\  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )
12 gsmsymgrfix.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
13 gsmsymgrfix.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 gsmsymgreq.z . . . . 5  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
15 gsmsymgreq.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  Z
)
16 gsmsymgreq.i . . . . 5  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
1712, 13, 14, 15, 16fvcosymgeq 16581 . . . 4  |-  ( ( C  e.  B  /\  R  e.  P )  ->  ( ( J  e.  I  /\  ( C `
 J )  =  ( R `  J
)  /\  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  (
( ( S  gsumg  X )  o.  C ) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) `  J ) ) )
186, 11, 17sylc 60 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( ( S  gsumg  X )  o.  C
) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R
) `  J )
)
19 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  N  e.  Fin )
20 simpr1l 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  X  e. Word  B )
21 simpr1r 1054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  C  e.  B )
2219, 20, 213jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B )
)
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B
) )
2412, 13gsumccatsymgsn 16578 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( X ++  <" C "> ) )  =  ( ( S  gsumg  X )  o.  C ) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( S  gsumg  ( X ++ 
<" C "> ) )  =  ( ( S  gsumg  X )  o.  C
) )
2625fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X ++  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( ( S  gsumg  X )  o.  C ) `  J ) )
27 simpl2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  M  e.  Fin )
28 simpr2l 1055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  Y  e. Word  P )
29 simpr2r 1056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  R  e.  P )
3027, 28, 293jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( M  e.  Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )
)
3130adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( M  e. 
Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P
) )
3214, 15gsumccatsymgsn 16578 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  ->  ( Z  gsumg  ( Y ++  <" R "> ) )  =  ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( Z  gsumg  ( Y ++ 
<" R "> ) )  =  ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R
) )
3433fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( Z 
gsumg  ( Y ++  <" R "> ) ) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) `  J ) )
3518, 26, 343eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X ++  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y ++  <" R "> ) ) `  J ) )
3635ex 434 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X ++  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y ++  <" R "> ) ) `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    i^i cin 3470    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   #chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   <"cs1 12541   Basecbs 14644    gsumg cgsu 14858   SymGrpcsymg 16529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-symg 16530
This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  16583
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