Theorem gsmsymgreqlem1 16582

Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 16584. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	|- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b	|- B = ( Base ` S )
gsmsymgreq.z	|- Z = ( SymGrp ` M )
gsmsymgreq.p	|- P = ( Base ` Z )
gsmsymgreq.i	|- I = ( N i^i M )

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreqlem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) ) )

Distinct variable groups:   n, I   n, X   C, n   n, J   R, n   S, n   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   B( n)   P( n)   M( n)   N( n)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> C e. B )
2		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P ) -> R e. P )
3	1, 2	anim12i 566	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
4	3	3adant3 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
5	4	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C e. B /\ R e. P ) )
7		simpll3 1037	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> J e. I )
8		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
9	8	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( C ` J ) = ( R ` J ) )
10		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) )
11	7, 9, 10	3jca 1176	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) )
12		gsmsymgrfix.s	. . . . 5 |- S = ( SymGrp ` N )
13		gsmsymgrfix.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
14		gsmsymgreq.z	. . . . 5 |- Z = ( SymGrp ` M )
15		gsmsymgreq.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` Z )
16		gsmsymgreq.i	. . . . 5 |- I = ( N i^i M )
17	12, 13, 14, 15, 16	fvcosymgeq 16581	. . . 4 |- ( ( C e. B /\ R e. P ) -> ( ( J e. I /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) /\ A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) ) )
18	6, 11, 17	sylc 60	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
19		simpl1 999	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> N e. Fin )
20		simpr1l 1053	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> X e. Word B )
21		simpr1r 1054	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> C e. B )
22	19, 20, 21	3jca 1176	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
23	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) )
24	12, 13	gsumccatsymgsn 16578	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ X e. Word B /\ C e. B ) -> ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( S gsumg X ) o. C ) )
26	25	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( ( S gsumg X ) o. C ) ` J ) )
27		simpl2 1000	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> M e. Fin )
28		simpr2l 1055	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> Y e. Word P )
29		simpr2r 1056	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> R e. P )
30	27, 28, 29	3jca 1176	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
31	30	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) )
32	14, 15	gsumccatsymgsn 16578	. . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ Y e. Word P /\ R e. P ) -> ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
33	31, 32	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) = ( ( Z gsumg Y ) o. R ) )
34	33	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) = ( ( ( Z gsumg Y ) o. R ) ` J ) )
35	18, 26, 34	3eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) )
36	35	ex 434	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ J e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) /\ ( C ` J ) = ( R ` J ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` J ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   i^i cin 3470   o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   #chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   <"cs1 12541   Basecbs 14644   gsum_g cgsu 14858   SymGrpcsymg 16529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-symg 16530

This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  16583