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Theorem gsmsymgreqlem1 16023
Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 16025. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  J ) ) )
Distinct variable groups:    n, I    n, X    C, n    n, J    R, n    S, n    n, Y    n, Z
Allowed substitution hints:    B( n)    P( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  ->  R  e.  P )
31, 2anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P ) )  -> 
( C  e.  B  /\  R  e.  P
) )
433adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) )  ->  ( C  e.  B  /\  R  e.  P )
)
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( C  e.  B  /\  R  e.  P
) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( C  e.  B  /\  R  e.  P ) )
7 simpll3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  J  e.  I
)
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  -> 
( C `  J
)  =  ( R `
 J ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )
10 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n ) )
127, 9, 113jca 1168 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( J  e.  I  /\  ( C `
 J )  =  ( R `  J
)  /\  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) ) )
13 gsmsymgrfix.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
14 gsmsymgrfix.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
15 gsmsymgreq.z . . . . 5  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
16 gsmsymgreq.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  Z
)
17 gsmsymgreq.i . . . . 5  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
1813, 14, 15, 16, 17fvcosymgeq 16022 . . . 4  |-  ( ( C  e.  B  /\  R  e.  P )  ->  ( ( J  e.  I  /\  ( C `
 J )  =  ( R `  J
)  /\  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
) )  ->  (
( ( S  gsumg  X )  o.  C ) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) `  J ) ) )
196, 12, 18sylc 60 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( ( S  gsumg  X )  o.  C
) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R
) `  J )
)
20 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  N  e.  Fin )
21 simpr1l 1045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  X  e. Word  B )
22 simpr1r 1046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  C  e.  B )
2320, 21, 223jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B )
)
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( N  e. 
Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B
) )
2513, 14gsumccatsymgsn 16019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  ->  ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( S  gsumg  X )  o.  C ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) )  =  ( ( S  gsumg  X )  o.  C
) )
2726fveq1d 5777 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( ( S  gsumg  X )  o.  C ) `  J ) )
28 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  M  e.  Fin )
29 simpr2l 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  Y  e. Word  P )
30 simpr2r 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  ->  R  e.  P )
3128, 29, 303jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( M  e.  Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )
)
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( M  e. 
Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P
) )
3315, 16gsumccatsymgsn 16019 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  ->  ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) )  =  ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) )  =  ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R
) )
3534fveq1d 5777 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( Z 
gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  J )  =  ( ( ( Z  gsumg  Y )  o.  R ) `  J ) )
3619, 27, 353eqtr4d 2500 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I
)  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B )  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  /\  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  X ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `
 n )  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) ) )  ->  ( ( S 
gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  J ) )
3736ex 434 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin  /\  J  e.  I )  /\  ( ( X  e. Word  B  /\  C  e.  B
)  /\  ( Y  e. Word  P  /\  R  e.  P )  /\  ( # `
 X )  =  ( # `  Y
) ) )  -> 
( ( A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  X ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  Y ) `  n
)  /\  ( C `  J )  =  ( R `  J ) )  ->  ( ( S  gsumg  ( X concat  <" C "> ) ) `  J )  =  ( ( Z  gsumg  ( Y concat  <" R "> ) ) `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792    i^i cin 3411    o. ccom 4928   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Fincfn 7396   #chash 12190  Word cword 12309   concat cconcat 12311   <"cs1 12312   Basecbs 14262    gsumg cgsu 14467   SymGrpcsymg 15970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-word 12317  df-concat 12319  df-s1 12320  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-tset 14345  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-symg 15971
This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  16024
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