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Theorem gsmsymgreq 15937
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, N    P, i    i, W   
n, I    S, n    n, Z    B, n, i    i, I    n, M    n, N    P, n    U, i, n    n, W
Allowed substitution hints:    S( i)    M( i)    Z( i)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables  w  y  p  x  b  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( # `  w )  =  (
# `  (/) ) )
21oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) )
4 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w `
 i )  =  ( (/) `  i ) )
54fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )
)
6 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u `
 i )  =  ( (/) `  i ) )
76fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )
)
85, 7eqeqan12d 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  ( ( (/) `  i ) `  n
)  =  ( (
(/) `  i ) `  n ) ) )
98ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( (/) `  i ) `  n
)  =  ( (
(/) `  i ) `  n ) ) )
103, 9raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
) ) )
11 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( S 
gsumg  w )  =  ( S  gsumg  (/) ) )
1211fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n ) )
13 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( Z 
gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  (/) ) )
1413fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) )
1512, 14eqeqan12d 2458 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) )
1615ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) )
1710, 16imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) ) ) )
19 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  x
) )
2019oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  x
) ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( 0..^ ( # `  w ) )  =  ( 0..^ ( # `  x ) ) )
22 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  i )  =  ( x `  i ) )
2322fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( x `
 i ) `  n ) )
24 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  (
u `  i )  =  ( y `  i ) )
2524fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  (
( u `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) )
2623, 25eqeqan12d 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  ( ( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
2726ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( ( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
2821, 27raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
29 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  x ) )
3029fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  x ) `  n
) )
31 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  y ) )
3231fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  (
( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )
3330, 32eqeqan12d 2458 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  ( ( S 
gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) ) )
3433ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) )
3528, 34imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) ) ) )
37 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) )
3837oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( 0..^ ( # `  w ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( x concat  <" b "> ) ) ) )
40 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
w `  i )  =  ( ( x concat  <" b "> ) `  i )
)
4140fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )
)
42 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( u `  i
)  =  ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) )
4342fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( ( u `  i ) `  n
)  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
)
4441, 43eqeqan12d 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
) )
4544ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
) )
4639, 45raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
) ) )
47 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) )
4847fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n ) )
49 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) )
5049fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n
) )
5148, 50eqeqan12d 2458 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  ( ( S 
gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) )
5251ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) )
5346, 52imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) )
5453imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
55 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  W
) )
5655oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
57 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  i )  =  ( W `  i ) )
5857fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( W `
 i ) `  n ) )
5958eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  <->  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
6059ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
6156, 60raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
62 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  W ) )
6362fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  n
) )
6463eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
6564ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
6661, 65imbi12d 320 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) )
6766imbi2d 316 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) ) )
68 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  w
) ) )
69 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
u `  i )  =  ( U `  i ) )
7069fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( u `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n ) )
7170eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
7271ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
7368, 72raleqbidv 2931 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
74 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  U ) )
7574fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )
7675eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
7776ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
7873, 77imbi12d 320 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) )
7978imbi2d 316 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) ) )
80 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
81 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  <->  n  e.  ( N  i^i  M ) ) )
82 elin 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  i^i  M )  <->  ( n  e.  N  /\  n  e.  M ) )
8381, 82syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  <->  ( n  e.  N  /\  n  e.  M ) ) )
84 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  N  /\  n  e.  M )  ->  n  e.  N )
8583, 84syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  ->  n  e.  N ) )
8680, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  N )
8786adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  n  e.  N )
88 fvresi 5904 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  N  ->  (
(  _I  |`  N ) `
 n )  =  n )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  N ) `  n )  =  n )
90 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  N  /\  n  e.  M )  ->  n  e.  M )
9183, 90syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  ->  n  e.  M ) )
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  M )
9392adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  n  e.  M )
94 fvresi 5904 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 n )  =  n )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  n )  =  n )
9689, 95eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  N ) `  n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
9796ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  A. n  e.  I 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
98 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
9998symgid 15906 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  S
) )
10099adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  S ) )
101 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
102101gsum0 15510 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  S )
103100, 102syl6reqr 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( S  gsumg  (/) )  =  (  _I  |`  N ) )
104103fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( (  _I  |`  N ) `
 n ) )
105 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
106105symgid 15906 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Fin  ->  (  _I  |`  M )  =  ( 0g `  Z
) )
107106adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  (  _I  |`  M )  =  ( 0g `  Z ) )
108 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
109108gsum0 15510 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  Z )
110107, 109syl6reqr 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( Z  gsumg  (/) )  =  (  _I  |`  M ) )
111110fveq1d 5693 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
112104, 111eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( ( S 
gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n )  <-> 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
113112ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n )  <->  A. n  e.  I 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
11497, 113mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) )
115114a1d 25 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I  (
( (/) `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) ) )
116 gsmsymgrfix.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
117 gsmsymgreq.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  Z
)
11898, 116, 105, 117, 80gsmsymgreqlem2 15936 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) )
119118expcom 435 . . . 4  |-  ( ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
120119a2d 26 . . 3  |-  ( ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
12118, 36, 54, 67, 79, 115, 120wrd2ind 12372 . 2  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) ) )
122121impcom 430 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    i^i cin 3327   (/)c0 3637    _I cid 4631    |` cres 4842   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   0cc0 9282  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   concat cconcat 12223   <"cs1 12224   Basecbs 14174   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379   SymGrpcsymg 15882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-symg 15883
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  18030
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