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Theorem gsmsymgreq 16328
Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
gsmsymgrfix.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
gsmsymgreq.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
gsmsymgreq.p  |-  P  =  ( Base `  Z
)
gsmsymgreq.i  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreq  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, N    P, i    i, W   
n, I    S, n    n, Z    B, n, i    i, I    n, M    n, N    P, n    U, i, n    n, W
Allowed substitution hints:    S( i)    M( i)    Z( i)

Proof of Theorem gsmsymgreq
Dummy variables  w  y  p  x  b  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( # `  w )  =  (
# `  (/) ) )
21oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( 0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) )
4 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w `
 i )  =  ( (/) `  i ) )
54fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )
)
6 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u `
 i )  =  ( (/) `  i ) )
76fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )
)
85, 7eqeqan12d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  ( ( (/) `  i ) `  n
)  =  ( (
(/) `  i ) `  n ) ) )
98ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( (/) `  i ) `  n
)  =  ( (
(/) `  i ) `  n ) ) )
103, 9raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
) ) )
11 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( S 
gsumg  w )  =  ( S  gsumg  (/) ) )
1211fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n ) )
13 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( Z 
gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  (/) ) )
1413fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) )
1512, 14eqeqan12d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) )
1615ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) )
1710, 16imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  (/)  /\  u  =  (/) )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I 
( ( (/) `  i
) `  n )  =  ( ( (/) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n ) ) ) ) )
19 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  x
) )
2019oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  x
) ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( 0..^ ( # `  w ) )  =  ( 0..^ ( # `  x ) ) )
22 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  i )  =  ( x `  i ) )
2322fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( x `
 i ) `  n ) )
24 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  (
u `  i )  =  ( y `  i ) )
2524fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  (
( u `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) )
2623, 25eqeqan12d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  ( ( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
2726ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( ( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
2821, 27raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n ) ) )
29 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  x ) )
3029fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  x ) `  n
) )
31 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  y ) )
3231fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  (
( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )
3330, 32eqeqan12d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  ( ( S 
gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) ) )
3433ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) )
3528, 34imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) ) )
3635imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  x  /\  u  =  y )  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) ) ) )
37 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) )
3837oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( 0..^ ( # `  w ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( x concat  <" b "> ) ) ) )
40 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
w `  i )  =  ( ( x concat  <" b "> ) `  i )
)
4140fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )
)
42 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( u `  i
)  =  ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) )
4342fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( ( u `  i ) `  n
)  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
)
4441, 43eqeqan12d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
) )
4544ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( ( ( x concat  <" b "> ) `  i
) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i
) `  n )
) )
4639, 45raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
) ) )
47 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) )
4847fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x concat  <" b "> )  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n ) )
49 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) )
5049fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y concat  <" p "> )  ->  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n
) )
5148, 50eqeqan12d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  ( ( S 
gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) )
5251ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
)  <->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) )
5346, 52imbi12d 320 . . . 4  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) )
5453imbi2d 316 . . 3  |-  ( ( w  =  ( x concat  <" b "> )  /\  u  =  ( y concat  <" p "> ) )  -> 
( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
55 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  W
) )
5655oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
57 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  i )  =  ( W `  i ) )
5857fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( W `
 i ) `  n ) )
5958eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  <->  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
6059ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
6156, 60raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
62 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( S  gsumg  w )  =  ( S  gsumg  W ) )
6362fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  n
) )
6463eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
6564ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
6661, 65imbi12d 320 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) )
6766imbi2d 316 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  I  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) ) )
68 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
u `  i )  =  ( U `  i ) )
6968fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( u `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n ) )
7069eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
7170ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. n  e.  I 
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( u `  i ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
7271ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )
73 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( Z  gsumg  u )  =  ( Z  gsumg  U ) )
7473fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( Z  gsumg  u ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )
7574eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
7675ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n )  <->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
7772, 76imbi12d 320 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w ) ) A. n  e.  I  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( u `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  w ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  u ) `  n
) )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) )
7877imbi2d 316 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( u `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  u ) `
 n ) ) )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) A. n  e.  I  ( (
w `  i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  w ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n ) ) ) ) )
79 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( N  i^i  M
)
80 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  <->  n  e.  ( N  i^i  M ) ) )
81 elin 3692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  i^i  M )  <->  ( n  e.  N  /\  n  e.  M ) )
8280, 81syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  <->  ( n  e.  N  /\  n  e.  M ) ) )
83 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  N  /\  n  e.  M )  ->  n  e.  N )
8482, 83syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  ->  n  e.  N ) )
8579, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  N )
8685adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  n  e.  N )
87 fvresi 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  N  ->  (
(  _I  |`  N ) `
 n )  =  n )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  N ) `  n )  =  n )
89 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  N  /\  n  e.  M )  ->  n  e.  M )
9082, 89syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  =  ( N  i^i  M )  ->  ( n  e.  I  ->  n  e.  M ) )
9179, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  I  ->  n  e.  M )
9291adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  n  e.  M )
93 fvresi 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  M  ->  (
(  _I  |`  M ) `
 n )  =  n )
9492, 93syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  M ) `  n )  =  n )
9588, 94eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  n  e.  I
)  ->  ( (  _I  |`  N ) `  n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
9695ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  A. n  e.  I 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
97 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( SymGrp `  N )
9897symgid 16297 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  S
) )
9998adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  S ) )
100 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
101100gsum0 15778 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  S )
10299, 101syl6reqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( S  gsumg  (/) )  =  (  _I  |`  N ) )
103102fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( (  _I  |`  N ) `
 n ) )
104 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( SymGrp `  M )
105104symgid 16297 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Fin  ->  (  _I  |`  M )  =  ( 0g `  Z
) )
106105adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  (  _I  |`  M )  =  ( 0g `  Z ) )
107 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
108107gsum0 15778 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  Z )
109106, 108syl6reqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( Z  gsumg  (/) )  =  (  _I  |`  M ) )
110109fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) )
111103, 110eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( ( S 
gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n )  <-> 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
112111ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. n  e.  I  ( ( S 
gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z 
gsumg  (/) ) `  n )  <->  A. n  e.  I 
( (  _I  |`  N ) `
 n )  =  ( (  _I  |`  M ) `
 n ) ) )
11396, 112mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) )
114113a1d 25 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (/) ) ) A. n  e.  I  (
( (/) `  i ) `
 n )  =  ( ( (/) `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  (/) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  (/) ) `  n ) ) )
115 gsmsymgrfix.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
116 gsmsymgreq.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  Z
)
11797, 115, 104, 116, 79gsmsymgreqlem2 16327 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) )
118117expcom 435 . . . 4  |-  ( ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x ) ) A. n  e.  I  (
( x `  i
) `  n )  =  ( ( y `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  x ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  y ) `  n
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
119118a2d 26 . . 3  |-  ( ( ( x  e. Word  B  /\  b  e.  B
)  /\  ( y  e. Word  P  /\  p  e.  P )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( ( N  e. 
Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  x
) ) A. n  e.  I  ( (
x `  i ) `  n )  =  ( ( y `  i
) `  n )  ->  A. n  e.  I 
( ( S  gsumg  x ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  y ) `
 n ) ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  (
x concat  <" b "> ) ) ) A. n  e.  I 
( ( ( x concat  <" b "> ) `  i ) `  n )  =  ( ( ( y concat  <" p "> ) `  i ) `  n
)  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  ( x concat  <" b "> ) ) `  n )  =  ( ( Z  gsumg  ( y concat  <" p "> ) ) `  n ) ) ) ) )
12018, 36, 54, 67, 78, 114, 119wrd2ind 12682 . 2  |-  ( ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
) `  n )  =  ( ( U `
 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
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121120impcom 430 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  B  /\  U  e. Word  P  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  I  (
( W `  i
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 i ) `  n )  ->  A. n  e.  I  ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    i^i cin 3480   (/)c0 3790    _I cid 4796    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12514   concat cconcat 12516   <"cs1 12517   Basecbs 14506   0gc0g 14711    gsumg cgsu 14712   SymGrpcsymg 16273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-word 12522  df-concat 12524  df-s1 12525  df-substr 12526  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-tset 14590  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-symg 16274
This theorem is referenced by:  psgndiflemB  18503
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