MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk1 Structured version   Unicode version

Theorem grutsk1 9229
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 9191.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  T  e.  Univ )

Proof of Theorem grutsk1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  Tr  T )
2 tskpw 9161 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T )
32adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T
)
4 tskpr 9178 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T )  ->  { x ,  y }  e.  T )
543expa 1197 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  /\  y  e.  T
)  ->  { x ,  y }  e.  T )
65ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T )
76adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T )
8 elmapg 7470 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  (
y  e.  ( T  ^m  x )  <->  y :
x --> T ) )
98adantlr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y  e.  ( T  ^m  x )  <-> 
y : x --> T ) )
10 tskurn 9197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T  /\  y : x --> T )  ->  U. ran  y  e.  T )
11103expia 1199 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y : x --> T  ->  U. ran  y  e.  T ) )
129, 11sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y  e.  ( T  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  T ) )
1312ralrimiv 2816 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T )
143, 7, 133jca 1177 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x
) U. ran  y  e.  T ) )
1514ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T )
)
16 elgrug 9200 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( T  e. 
Univ 
<->  ( Tr  T  /\  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T
) ) ) )
1716adantr 463 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  ( T  e.  Univ  <->  ( Tr  T  /\  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x
) U. ran  y  e.  T ) ) ) )
181, 15, 17mpbir2and 923 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  T  e.  Univ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   A.wral 2754   ~Pcpw 3955   {cpr 3974   U.cuni 4191   Tr wtr 4489   ran crn 4824   -->wf 5565  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Tarskictsk 9156   Univcgru 9198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-ac2 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-smo 7050  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-oi 7969  df-har 8018  df-r1 8214  df-card 8352  df-aleph 8353  df-cf 8354  df-acn 8355  df-ac 8529  df-wina 9092  df-ina 9093  df-tsk 9157  df-gru 9199
This theorem is referenced by:  grutsk  9230
  Copyright terms: Public domain W3C validator