MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk1 Structured version   Unicode version

Theorem grutsk1 9009
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 8971.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  T  e.  Univ )

Proof of Theorem grutsk1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  Tr  T )
2 tskpw 8941 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T )
32adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ~P x  e.  T
)
4 tskpr 8958 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T )  ->  { x ,  y }  e.  T )
543expa 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  /\  y  e.  T
)  ->  { x ,  y }  e.  T )
65ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T )
76adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T )
8 elmapg 7248 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  (
y  e.  ( T  ^m  x )  <->  y :
x --> T ) )
98adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y  e.  ( T  ^m  x )  <-> 
y : x --> T ) )
10 tskurn 8977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T  /\  y : x --> T )  ->  U. ran  y  e.  T )
11103expia 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y : x --> T  ->  U. ran  y  e.  T ) )
129, 11sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( y  e.  ( T  ^m  x )  ->  U. ran  y  e.  T ) )
1312ralrimiv 2819 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T )
143, 7, 133jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  x  e.  T )  ->  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x
) U. ran  y  e.  T ) )
1514ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T )
)
16 elgrug 8980 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( T  e. 
Univ 
<->  ( Tr  T  /\  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x ) U. ran  y  e.  T
) ) ) )
1716adantr 465 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  ( T  e.  Univ  <->  ( Tr  T  /\  A. x  e.  T  ( ~P x  e.  T  /\  A. y  e.  T  { x ,  y }  e.  T  /\  A. y  e.  ( T  ^m  x
) U. ran  y  e.  T ) ) ) )
181, 15, 17mpbir2and 913 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T )  ->  T  e.  Univ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2736   ~Pcpw 3881   {cpr 3900   U.cuni 4112   Tr wtr 4406   ran crn 4862   -->wf 5435  (class class class)co 6112    ^m cmap 7235   Tarskictsk 8936   Univcgru 8978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-smo 6828  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-oi 7745  df-har 7794  df-r1 7992  df-card 8130  df-aleph 8131  df-cf 8132  df-acn 8133  df-ac 8307  df-wina 8872  df-ina 8873  df-tsk 8937  df-gru 8979
This theorem is referenced by:  grutsk  9010
  Copyright terms: Public domain W3C validator