MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Unicode version

Theorem grutsk 9200
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 9133 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Tarski
2 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  Tarski 
<->  (/)  e.  Tarski ) )
31, 2mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski ) )
5 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 unir1 8231 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2554 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
U. ( R1 " On )
8 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  On )  =  ( y  i^i  On )
98grur1 9198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
107, 9mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  =  ( R1 `  (
y  i^i  On )
) )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
128gruina 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
y  i^i  On )  e.  Inacc )
13 inatsk 9156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  On )  e.  Inacc  ->  ( R1 `  ( y  i^i  On ) )  e.  Tarski )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  ( y  i^i 
On ) )  e. 
Tarski )
1511, 14eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Tarski )
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =/=  (/)  ->  y  e.  Tarski ) )
174, 16pm2.61dne 2784 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  e. 
Tarski )
18 grutr 9171 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  Tr  y
)
1917, 18jca 532 . . . 4  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y
) )
20 grutsk1 9199 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y )  ->  y  e.  Univ )
2119, 20impbii 188 . . 3  |-  ( y  e.  Univ  <->  ( y  e. 
Tarski  /\  Tr  y ) )
22 treq 4546 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
2322elrab 3261 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
Tarski  |  Tr  x }  <->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y ) )
2421, 23bitr4i 252 . 2  |-  ( y  e.  Univ  <->  y  e.  {
x  e.  Tarski  |  Tr  x } )
2524eqriv 2463 1  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   (/)c0 3785   U.cuni 4245   Tr wtr 4540   Oncon0 4878   "cima 5002   ` cfv 5588   R1cr1 8180   Inacccina 9061   Tarskictsk 9126   Univcgru 9168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-smo 7017  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-har 7984  df-tc 8168  df-r1 8182  df-rank 8183  df-card 8320  df-aleph 8321  df-cf 8322  df-acn 8323  df-ac 8497  df-wina 9062  df-ina 9063  df-tsk 9127  df-gru 9169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator