MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Unicode version

Theorem grutsk 9099
Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 9032 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Tarski
2 eleq1 2526 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  Tarski 
<->  (/)  e.  Tarski ) )
31, 2mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =  (/)  ->  y  e. 
Tarski ) )
5 vex 3079 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
6 unir1 8130 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
75, 6eleqtrri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
U. ( R1 " On )
8 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  On )  =  ( y  i^i  On )
98grur1 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
107, 9mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  =  ( R1 `  (
y  i^i  On )
) )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  ( R1 `  ( y  i^i  On ) ) )
128gruina 9095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
y  i^i  On )  e.  Inacc )
13 inatsk 9055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  On )  e.  Inacc  ->  ( R1 `  ( y  i^i  On ) )  e.  Tarski )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  ( y  i^i 
On ) )  e. 
Tarski )
1511, 14eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Univ  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  e.  Tarski )
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  =/=  (/)  ->  y  e.  Tarski ) )
174, 16pm2.61dne 2768 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  y  e. 
Tarski )
18 grutr 9070 . . . . 5  |-  ( y  e.  Univ  ->  Tr  y
)
1917, 18jca 532 . . . 4  |-  ( y  e.  Univ  ->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y
) )
20 grutsk1 9098 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y )  ->  y  e.  Univ )
2119, 20impbii 188 . . 3  |-  ( y  e.  Univ  <->  ( y  e. 
Tarski  /\  Tr  y ) )
22 treq 4498 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( Tr  x  <->  Tr  y )
)
2322elrab 3222 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e. 
Tarski  |  Tr  x }  <->  ( y  e.  Tarski  /\  Tr  y ) )
2421, 23bitr4i 252 . 2  |-  ( y  e.  Univ  <->  y  e.  {
x  e.  Tarski  |  Tr  x } )
2524eqriv 2450 1  |-  Univ  =  { x  e.  Tarski  |  Tr  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   {crab 2802   _Vcvv 3076    i^i cin 3434   (/)c0 3744   U.cuni 4198   Tr wtr 4492   Oncon0 4826   "cima 4950   ` cfv 5525   R1cr1 8079   Inacccina 8960   Tarskictsk 9025   Univcgru 9067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-reg 7917  ax-inf2 7957  ax-ac2 8742
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-smo 6916  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-oi 7834  df-har 7883  df-tc 8067  df-r1 8081  df-rank 8082  df-card 8219  df-aleph 8220  df-cf 8221  df-acn 8222  df-ac 8396  df-wina 8961  df-ina 8962  df-tsk 9026  df-gru 9068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator