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Theorem grur1a 9262
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1a  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6  |-  A  =  ( U  i^i  On )
2 inss1 3643 . . . . . 6  |-  ( U  i^i  On )  C_  U
31, 2eqsstri 3448 . . . . 5  |-  A  C_  U
4 sseq2 3440 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( A 
C_  U  <->  A  C_  (/) ) )
53, 4mpbii 216 . . . 4  |-  ( U  =  (/)  ->  A  C_  (/) )
6 ss0 3768 . . . 4  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
7 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  ( R1 `  (/) ) )
8 r10 8257 . . . . . 6  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  (/) )
10 0ss 3766 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
119, 10syl6eqss 3468 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
125, 6, 113syl 18 . . 3  |-  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
1312a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U ) )
141gruina 9261 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
15 inawina 9133 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
16 winaon 9131 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
17 winalim 9138 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
18 r1lim 8261 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
1916, 17, 18syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
2014, 15, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
21 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  On )  C_  On
221, 21eqsstri 3448 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  On
2322sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  On )
24 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
25 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2625, 8syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  (/) )
2726eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
2824, 27imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( (/)  e.  A  ->  (/) 
e.  U ) ) )
29 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
30 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
3130eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  e.  U  <->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
3229, 31imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U ) ) )
33 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
3534eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  e.  U  <->  ( R1 `  suc  y
)  e.  U ) )
3633, 35imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
)  <->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) )
373sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
) )
39 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  suc  y  e.  A
)
40 elelsuc 5502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  suc  A )
413sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  U
)
42 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  y  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
4414, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
4543, 44sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  A  e.  On )
46 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
47 ordsucelsuc 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A ) )
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A
) )
4940, 48syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
51 grupw 9238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  y )  e.  U )  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U )
5251ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U ) )
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U
) )
54 r1suc 8259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
5554eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  (
( R1 `  suc  y )  e.  U  <->  ~P ( R1 `  y
)  e.  U ) )
5655biimprcd 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P ( R1 `  y
)  e.  U  -> 
( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) )
5753, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) ) )
5850, 57embantd 55 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) )
5958ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( suc  y  e.  A  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) ) )
6059com23 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U ) ) ) )
6160com4r 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) ) )
62 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
633sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  U )
64 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
6665, 44sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  On )
67 ontr1 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
68 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
6967, 68syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7069expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7170com3r 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7262, 66, 71sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7372imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7473ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
75 gruiun 9242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U  /\  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)
76753expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7763, 76sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7874, 77syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
79 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
80 r1lim 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8179, 80mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8281eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
8382biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8478, 83sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  x  /\  ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8584exp32 616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8685com34 85 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 6709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U ) ) )
8887com3r 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) ) )
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) )
9089impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  e.  U )
91 gruelss 9237 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  x )  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9290, 91syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9392ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
94 iunss 4310 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U 
<-> 
A. x  e.  A  ( R1 `  x ) 
C_  U )
9593, 94sylibr 217 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9695adantr 472 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9720, 96eqsstrd 3452 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9897ex 441 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =/=  (/)  ->  ( R1 `  A )  C_  U
) )
9913, 98pm2.61dne 2729 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U_ciun 4269   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   ` cfv 5589   R1cr1 8251   InaccWcwina 9125   Inacccina 9126   Univcgru 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-r1 8253  df-card 8391  df-cf 8393  df-ac 8565  df-wina 9127  df-ina 9128  df-gru 9234
This theorem is referenced by:  grur1  9263
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