Theorem grur1a 9197

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1a	|- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 |- A = ( U i^i On )
2		inss1 3718	. . . . . 6 |- ( U i^i On ) C_ U
3	1, 2	eqsstri 3534	. . . . 5 |- A C_ U
4		sseq2 3526	. . . . 5 |- ( U = (/) -> ( A C_ U <-> A C_ (/) ) )
5	3, 4	mpbii 211	. . . 4 |- ( U = (/) -> A C_ (/) )
6		ss0 3816	. . . 4 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
7		fveq2 5866	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = ( R1 ` (/) ) )
8		r10 8186	. . . . . 6 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
9	7, 8	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = (/) )
10		0ss 3814	. . . . 5 |- (/) C_ U
11	9, 10	syl6eqss 3554	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
12	5, 6, 11	3syl 20	. . 3 |- ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
13	12	a1i 11	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
14	1	gruina 9196	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
15		inawina 9068	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
16		winaon 9066	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
17		winalim 9073	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
18		r1lim 8190	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
20	14, 15, 19	3syl 20	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
21		inss2 3719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U i^i On ) C_ On
22	1, 21	eqsstri 3534	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ On
23	22	sseli 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> x e. On )
24		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
25		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` (/) ) )
26	25, 8	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = (/) )
27	26	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> (/) e. U ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( (/) e. A -> (/) e. U ) ) )
29		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
30		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` y ) )
31	30	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` y ) e. U ) )
32	29, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
33		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
34		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc y ) )
35	34	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
36	33, 35	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
37	3	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. A -> (/) e. U )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. Univ -> ( (/) e. A -> (/) e. U ) )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> suc y e. A )
40		elelsuc 4950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc y e. A -> suc y e. suc A )
41	3	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. A -> suc y e. U )
42		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. U -> U =/= (/) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc y e. A -> U =/= (/) )
44	14, 15, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. On )
45	43, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> A e. On )
46		eloni 4888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. On -> Ord A )
47		ordsucelsuc 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord A -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
48	45, 46, 47	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
49	40, 48	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( suc y e. A -> y e. A ) )
50	39, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> y e. A )
51		grupw 9173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` y ) e. U ) -> ~P ( R1 ` y ) e. U )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. Univ -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
54		r1suc 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) = ~P ( R1 ` y ) )
55	54	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> ( ( R1 ` suc y ) e. U <-> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
56	55	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
58	50, 57	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. Univ -> ( suc y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
60	59	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
61	60	com4r 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
62		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> x e. A )
63	3	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. A -> x e. U )
64		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A -> U =/= (/) )
66	65, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> A e. On )
67		ontr1 4924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
68		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
69	67, 68	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
70	69	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( y e. x -> ( x e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
71	70	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( A e. On -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
72	62, 66, 71	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
73	72	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. Univ /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
74	73	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
75		gruiun 9177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U /\ A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U )
76	75	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
77	63, 76	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
78	74, 77	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
79		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
80		r1lim 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
81	79, 80	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
82	81	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
83	82	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U -> ( R1 ` x ) e. U ) )
84	78, 83	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Lim x /\ ( U e. Univ /\ x e. A ) ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) )
85	84	exp32 605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
86	85	com34 83	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
87	28, 32, 36, 38, 61, 86	tfinds2 6682	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
88	87	com3r 79	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
89	23, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) )
90	89	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) e. U )
91		gruelss 9172	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` x ) e. U ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
92	90, 91	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
93	92	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( U e. Univ -> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
94		iunss 4366	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U <-> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
95	93, 94	sylibr 212	. . . . 5 |- ( U e. Univ -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
96	95	adantr 465	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
97	20, 96	eqsstrd 3538	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
98	97	ex 434	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U =/= (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
99	13, 98	pm2.61dne 2784	1 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   ` cfv 5588   R1cr1 8180   InaccWcwina 9060   Inacccina 9061   Univcgru 9168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-r1 8182  df-card 8320  df-cf 8322  df-ac 8497  df-wina 9062  df-ina 9063  df-gru 9169

This theorem is referenced by:  grur1  9198