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Theorem grur1a 9244
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1a  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6  |-  A  =  ( U  i^i  On )
2 inss1 3652 . . . . . 6  |-  ( U  i^i  On )  C_  U
31, 2eqsstri 3462 . . . . 5  |-  A  C_  U
4 sseq2 3454 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( A 
C_  U  <->  A  C_  (/) ) )
53, 4mpbii 215 . . . 4  |-  ( U  =  (/)  ->  A  C_  (/) )
6 ss0 3765 . . . 4  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
7 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  ( R1 `  (/) ) )
8 r10 8239 . . . . . 6  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  (/) )
10 0ss 3763 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
119, 10syl6eqss 3482 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
125, 6, 113syl 18 . . 3  |-  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
1312a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U ) )
141gruina 9243 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
15 inawina 9115 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
16 winaon 9113 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
17 winalim 9120 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
18 r1lim 8243 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
1916, 17, 18syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
2014, 15, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
21 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  On )  C_  On
221, 21eqsstri 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  On
2322sseli 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  On )
24 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
25 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2625, 8syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  (/) )
2726eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
2824, 27imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( (/)  e.  A  ->  (/) 
e.  U ) ) )
29 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
30 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
3130eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  e.  U  <->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
3229, 31imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U ) ) )
33 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
34 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
3534eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  e.  U  <->  ( R1 `  suc  y
)  e.  U ) )
3633, 35imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
)  <->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) )
373sseli 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
) )
39 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  suc  y  e.  A
)
40 elelsuc 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  suc  A )
413sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  U
)
42 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  y  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
4414, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
4543, 44sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  A  e.  On )
46 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
47 ordsucelsuc 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A ) )
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A
) )
4940, 48syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
51 grupw 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  y )  e.  U )  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U )
5251ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U ) )
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U
) )
54 r1suc 8241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
5554eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  (
( R1 `  suc  y )  e.  U  <->  ~P ( R1 `  y
)  e.  U ) )
5655biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P ( R1 `  y
)  e.  U  -> 
( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) )
5753, 56syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) ) )
5850, 57embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) )
5958ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( suc  y  e.  A  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) ) )
6059com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U ) ) ) )
6160com4r 89 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) ) )
62 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
633sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  U )
64 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
6665, 44sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  On )
67 ontr1 5469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
68 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
6967, 68syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7069expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7170com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7262, 66, 71sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7372imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7473ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
75 gruiun 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U  /\  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)
76753expia 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7763, 76sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7874, 77syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
79 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
80 r1lim 8243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8179, 80mpan 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8281eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
8382biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8478, 83sylan9r 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  x  /\  ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8584exp32 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8685com34 86 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 6690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U ) ) )
8887com3r 82 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) ) )
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) )
9089impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  e.  U )
91 gruelss 9219 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  x )  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9290, 91syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9392ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
94 iunss 4319 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U 
<-> 
A. x  e.  A  ( R1 `  x ) 
C_  U )
9593, 94sylibr 216 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9695adantr 467 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9720, 96eqsstrd 3466 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9897ex 436 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =/=  (/)  ->  ( R1 `  A )  C_  U
) )
9913, 98pm2.61dne 2710 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U_ciun 4278   Ord word 5422   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   suc csuc 5425   ` cfv 5582   R1cr1 8233   InaccWcwina 9107   Inacccina 9108   Univcgru 9215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-r1 8235  df-card 8373  df-cf 8375  df-ac 8547  df-wina 9109  df-ina 9110  df-gru 9216
This theorem is referenced by:  grur1  9245
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