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Theorem grur1a 9197
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1a  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6  |-  A  =  ( U  i^i  On )
2 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( U  i^i  On )  C_  U
31, 2eqsstri 3534 . . . . 5  |-  A  C_  U
4 sseq2 3526 . . . . 5  |-  ( U  =  (/)  ->  ( A 
C_  U  <->  A  C_  (/) ) )
53, 4mpbii 211 . . . 4  |-  ( U  =  (/)  ->  A  C_  (/) )
6 ss0 3816 . . . 4  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
7 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  ( R1 `  (/) ) )
8 r10 8186 . . . . . 6  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  =  (/) )
10 0ss 3814 . . . . 5  |-  (/)  C_  U
119, 10syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
125, 6, 113syl 20 . . 3  |-  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
1312a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =  (/)  ->  ( R1
`  A )  C_  U ) )
141gruina 9196 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
15 inawina 9068 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
16 winaon 9066 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
17 winalim 9073 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
18 r1lim 8190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
2014, 15, 193syl 20 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ x  e.  A  ( R1 `  x ) )
21 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  i^i  On )  C_  On
221, 21eqsstri 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  On
2322sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  On )
24 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
25 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2625, 8syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  (/) )
2726eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( (/)  e.  A  ->  (/) 
e.  U ) ) )
29 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
30 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
3130eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  x
)  e.  U  <->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( R1 `  x
)  e.  U )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U ) ) )
33 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
34 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
3534eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  x )  e.  U  <->  ( R1 `  suc  y
)  e.  U ) )
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
)  <->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) )
373sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( (/)  e.  A  ->  (/)  e.  U
) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  suc  y  e.  A
)
40 elelsuc 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  suc  A )
413sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  A  ->  suc  y  e.  U
)
42 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc  y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  y  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
4414, 15, 163syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  On )
4543, 44sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  A  e.  On )
46 eloni 4888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
47 ordsucelsuc 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A ) )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  suc  A
) )
4940, 48syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  y  e.  A ) )
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
51 grupw 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  y )  e.  U )  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ~P ( R1 `  y )  e.  U
) )
54 r1suc 8188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
5554eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  (
( R1 `  suc  y )  e.  U  <->  ~P ( R1 `  y
)  e.  U ) )
5655biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P ( R1 `  y
)  e.  U  -> 
( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) )
5753, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U
) ) )
5850, 57embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  suc  y  e.  A )  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( suc  y  e.  A  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  y )  e.  U ) ) ) )
6059com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  e.  U ) ) ) )
6160com4r 86 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1
`  suc  y )  e.  U ) ) ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
633sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  U )
64 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  U  =/=  (/) )
6665, 44sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  On )
67 ontr1 4924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
68 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
6967, 68syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  On  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7069expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7170com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) ) )
7262, 66, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7473ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
75 gruiun 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U  /\  A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
)
76753expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7763, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U
) )
7874, 77syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y
)  e.  U )  ->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
79 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
80 r1lim 8190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8179, 80mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8281eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( ( R1 `  x )  e.  U  <->  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U ) )
8382biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  e.  U  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8478, 83sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  x  /\  ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( R1 `  y )  e.  U
)  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) )
8584exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8685com34 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( A. y  e.  x  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  y
)  e.  U )  ->  ( x  e.  A  ->  ( R1 `  x )  e.  U
) ) ) )
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 6682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  (
x  e.  A  -> 
( R1 `  x
)  e.  U ) ) )
8887com3r 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  On  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) ) )
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( U  e.  Univ  ->  ( R1 `  x )  e.  U ) )
9089impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  e.  U )
91 gruelss 9172 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( R1 `  x )  e.  U )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9290, 91syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  A )  ->  ( R1 `  x )  C_  U )
9392ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
94 iunss 4366 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U 
<-> 
A. x  e.  A  ( R1 `  x ) 
C_  U )
9593, 94sylibr 212 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9695adantr 465 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  A  ( R1 `  x )  C_  U
)
9720, 96eqsstrd 3538 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9897ex 434 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  =/=  (/)  ->  ( R1 `  A )  C_  U
) )
9913, 98pm2.61dne 2784 1  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   ` cfv 5588   R1cr1 8180   InaccWcwina 9060   Inacccina 9061   Univcgru 9168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-r1 8182  df-card 8320  df-cf 8322  df-ac 8497  df-wina 9062  df-ina 9063  df-gru 9169
This theorem is referenced by:  grur1  9198
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