Theorem grur1a 8982

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1a	|- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 |- A = ( U i^i On )
2		inss1 3567	. . . . . 6 |- ( U i^i On ) C_ U
3	1, 2	eqsstri 3383	. . . . 5 |- A C_ U
4		sseq2 3375	. . . . 5 |- ( U = (/) -> ( A C_ U <-> A C_ (/) ) )
5	3, 4	mpbii 211	. . . 4 |- ( U = (/) -> A C_ (/) )
6		ss0 3665	. . . 4 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
7		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = ( R1 ` (/) ) )
8		r10 7971	. . . . . 6 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
9	7, 8	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) = (/) )
10		0ss 3663	. . . . 5 |- (/) C_ U
11	9, 10	syl6eqss 3403	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
12	5, 6, 11	3syl 20	. . 3 |- ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U )
13	12	a1i 11	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U = (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
14	1	gruina 8981	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
15		inawina 8853	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
16		winaon 8851	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
17		winalim 8858	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
18		r1lim 7975	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
20	14, 15, 19	3syl 20	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) = U_ x e. A ( R1 ` x ) )
21		inss2 3568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U i^i On ) C_ On
22	1, 21	eqsstri 3383	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ On
23	22	sseli 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> x e. On )
24		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
25		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` (/) ) )
26	25, 8	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = (/) )
27	26	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> (/) e. U ) )
28	24, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( (/) e. A -> (/) e. U ) ) )
29		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
30		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` y ) )
31	30	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` y ) e. U ) )
32	29, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
33		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( x e. A <-> suc y e. A ) )
34		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc y ) )
35	34	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
36	33, 35	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) <-> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
37	3	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. A -> (/) e. U )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. Univ -> ( (/) e. A -> (/) e. U ) )
39		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> suc y e. A )
40		elelsuc 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( suc y e. A -> suc y e. suc A )
41	3	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. A -> suc y e. U )
42		ne0i 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc y e. U -> U =/= (/) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( suc y e. A -> U =/= (/) )
44	14, 15, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. On )
45	43, 44	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> A e. On )
46		eloni 4725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. On -> Ord A )
47		ordsucelsuc 6432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord A -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
48	45, 46, 47	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( y e. A <-> suc y e. suc A ) )
49	40, 48	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( suc y e. A -> y e. A ) )
50	39, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> y e. A )
51		grupw 8958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` y ) e. U ) -> ~P ( R1 ` y ) e. U )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. Univ -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
53	52	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
54		r1suc 7973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) = ~P ( R1 ` y ) )
55	54	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> ( ( R1 ` suc y ) e. U <-> ~P ( R1 ` y ) e. U ) )
56	55	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) )
57	53, 56	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( R1 ` y ) e. U -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
58	50, 57	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ suc y e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) )
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. Univ -> ( suc y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
60	59	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( y e. On -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
61	60	com4r 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( U e. Univ -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) e. U ) ) ) )
62		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> x e. A )
63	3	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. A -> x e. U )
64		ne0i 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A -> U =/= (/) )
66	65, 44	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> A e. On )
67		ontr1 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
68		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
69	67, 68	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. On -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
70	69	exp3a 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( y e. x -> ( x e. A -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
71	70	com3r 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( A e. On -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) ) )
72	62, 66, 71	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( y e. x -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) ) )
73	72	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. Univ /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> ( ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` y ) e. U ) )
74	73	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
75		gruiun 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U /\ A. y e. x ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U )
76	75	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
77	63, 76	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( R1 ` y ) e. U -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
78	74, 77	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
79		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
80		r1lim 7975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
81	79, 80	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim x -> ( R1 ` x ) = U_ y e. x ( R1 ` y ) )
82	81	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim x -> ( ( R1 ` x ) e. U <-> U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U ) )
83	82	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim x -> ( U_ y e. x ( R1 ` y ) e. U -> ( R1 ` x ) e. U ) )
84	78, 83	sylan9r 653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Lim x /\ ( U e. Univ /\ x e. A ) ) -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) )
85	84	exp32 602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
86	85	com34 83	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> ( U e. Univ -> ( A. y e. x ( y e. A -> ( R1 ` y ) e. U ) -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) ) )
87	28, 32, 36, 38, 61, 86	tfinds2 6473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( x e. A -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
88	87	com3r 79	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( x e. On -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) ) )
89	23, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( U e. Univ -> ( R1 ` x ) e. U ) )
90	89	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) e. U )
91		gruelss 8957	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. Univ /\ ( R1 ` x ) e. U ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
92	90, 91	syldan 467	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ x e. A ) -> ( R1 ` x ) C_ U )
93	92	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( U e. Univ -> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
94		iunss 4208	. . . . . 6 |- ( U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U <-> A. x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
95	93, 94	sylibr 212	. . . . 5 |- ( U e. Univ -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
96	95	adantr 462	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> U_ x e. A ( R1 ` x ) C_ U )
97	20, 96	eqsstrd 3387	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
98	97	ex 434	. 2 |- ( U e. Univ -> ( U =/= (/) -> ( R1 ` A ) C_ U ) )
99	13, 98	pm2.61dne 2686	1 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U_ciun 4168   Ord word 4714   Oncon0 4715   Lim wlim 4716   suc csuc 4717   ` cfv 5415   R1cr1 7965   InaccWcwina 8845   Inacccina 8846   Univcgru 8953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-ac2 8628

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-r1 7967  df-card 8105  df-cf 8107  df-ac 8282  df-wina 8847  df-ina 8848  df-gru 8954

This theorem is referenced by:  grur1  8983