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Theorem grur1 9263
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 |- A = ( U i^i On )
Assertion
Ref Expression
grur1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )
Proof of Theorem grur1
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3476 . . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
32eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
43rspcev 3136 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
54ex 441 . . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
65ad2antrl 742 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9 r1elssi 8294 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
109sseld 3417 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
117, 8, 10sylc 61 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12 tcrank 8373 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
1413eleq2d 2534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15 gruelss 9237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16 grutr 9236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19 tcmin 8243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
2115, 17, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22 rankf 8283 . . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25 fvelima 5931 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
2624, 25mpan 684 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27 ssrexv 3480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
2821, 26, 27syl2im 38 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
2928ad2ant2r 761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
3014, 29sylbid 223 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31 simprr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
3433gruina 9261 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
3532, 34sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36 inawina 9133 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37 winaon 9131 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39 r1fnon 8256 . . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40 fndm 5685 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
4238, 41syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
4342ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44 rankr1ag 8291 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
4511, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
4631, 45mtbid 307 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47 rankon 8284 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50 ordtri3or 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
5148, 49, 50syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
5247, 38, 51sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53 3orass 1010 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
5452, 53sylib 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
5554ord 384 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
5655ad2ant2r 761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
5746, 56mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
586, 30, 57mpjaod 388 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5958ex 441 . . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6059exlimdv 1787 . . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
611, 60syl5bi 225 . . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62 simpll 768 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
6463, 34sylan2 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
6564ad2ant2r 761 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
6665, 36, 373syl 18 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67 simprl 772 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
6968ad2antll 743 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70 elina 9130 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
7170simp2bi 1046 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
7265, 71syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
7369, 72eqtrd 2505 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74 rankcf 9220 . . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75 fvex 5889 . . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76 vex 3034 . . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77 domtri 8999 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 686 . . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
7974, 78mpbir 214 . . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
8073, 79syl6eqbrr 4434 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81 grudomon 9260 . . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
8262, 66, 67, 80, 81syl112anc 1296 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83 elin 3608 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
8483biimpri 211 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
8584, 33syl6eleqr 2560 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86 ordirr 5448 . . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
8749, 86syl 17 . . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
8887adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
8985, 88pm2.21dd 179 . . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
9082, 66, 89syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
9190rexlimdvaa 2872 . . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
9261, 91syld 44 . . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
9392pm2.18d 115 . 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
9433grur1a 9262 . . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
9594adantr 472 . 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
9693, 95eqssd 3435 1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   Tr wtr 4490   dom cdm 4839   "cima 4842   Ord word 5429   Oncon0 5430   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586   TCctc 8238   R1cr1 8251   rankcrnk 8252   cfccf 8389   InaccWcwina 9125   Inacccina 9126   Univcgru 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-tc 8239  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-cf 8393  df-acn 8394  df-ac 8565  df-wina 9127  df-ina 9128  df-gru 9234
This theorem is referenced by:  grutsk  9265  bj-grur1  31697
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