Theorem grur1 9194

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1	|- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem grur1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nss 3562	. . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
3	2	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
4	3	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5	4	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6	5	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9		r1elssi 8219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
10	9	sseld 3503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
11	7, 8, 10	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12		tcrank 8298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
14	13	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15		gruelss 9168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16		grutr 9167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18		vex 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19		tcmin 8168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
21	15, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22		rankf 8208	. . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23		ffun 5731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25		fvelima 5917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
26	24, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27		ssrexv 3565	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
28	21, 26, 27	syl2im 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
29	28	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
30	14, 29	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33		gruina.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
34	33	gruina 9192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
35	32, 34	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36		inawina 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37		winaon 9062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
38	35, 36, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39		r1fnon 8181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40		fndm 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
42	38, 41	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
43	42	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44		rankr1ag 8216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
45	11, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
46	31, 45	mtbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47		rankon 8209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48		eloni 4888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49		eloni 4888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50		ordtri3or 4910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
51	48, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
52	47, 38, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53		3orass 976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
54	52, 53	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
55	54	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
56	55	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
57	46, 56	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
58	6, 30, 57	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
59	58	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
60	59	exlimdv 1700	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
61	1, 60	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63		ne0i 3791	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
64	63, 34	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
65	64	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
66	65, 36, 37	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
69	68	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70		elina 9061	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
71	70	simp2bi 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
72	65, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
73	69, 72	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74		rankcf 9151	. . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75		fvex 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77		domtri 8927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
78	75, 76, 77	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
79	74, 78	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
80	73, 79	syl6eqbrr 4485	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81		grudomon 9191	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
82	62, 66, 67, 80, 81	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83		elin 3687	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
84	83	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
85	84, 33	syl6eleqr 2566	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86		ordirr 4896	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
87	49, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
88	87	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
89	85, 88	pm2.21dd 174	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
90	82, 66, 89	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
91	90	rexlimdvaa 2956	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
92	61, 91	syld 44	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
93	92	pm2.18d 111	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
94	33	grur1a 9193	. . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
95	94	adantr 465	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
96	93, 95	eqssd 3521	1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   Tr wtr 4540   Ord word 4877   Oncon0 4878   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5580   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586   ~<_ cdom 7511   ~< csdm 7512   TCctc 8163   R1cr1 8176   rankcrnk 8177   cfccf 8314   InaccWcwina 9056   Inacccina 9057   Univcgru 9164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-tc 8164  df-r1 8178  df-rank 8179  df-card 8316  df-cf 8318  df-acn 8319  df-ac 8493  df-wina 9058  df-ina 9059  df-gru 9165

This theorem is referenced by:  grutsk  9196  bj-grur1  33671