Theorem grur1 9250

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1	|- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem grur1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nss 3492	. . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
3	2	eqeq1d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
4	3	rspcev 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5	4	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6	5	ad2antrl 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7		simplr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8		simprl 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9		r1elssi 8281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
10	9	sseld 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
11	7, 8, 10	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12		tcrank 8360	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
14	13	eleq2d 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15		gruelss 9224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16		grutr 9223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18		vex 3050	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19		tcmin 8230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
21	15, 17, 20	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22		rankf 8270	. . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23		ffun 5736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25		fvelima 5922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
26	24, 25	mpan 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27		ssrexv 3496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
28	21, 26, 27	syl2im 39	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
29	28	ad2ant2r 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
30	14, 29	sylbid 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31		simprr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32		ne0i 3739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33		gruina.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
34	33	gruina 9248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
35	32, 34	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36		inawina 9120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37		winaon 9118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39		r1fnon 8243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40		fndm 5680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
42	38, 41	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
43	42	ad2ant2r 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44		rankr1ag 8278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
45	11, 43, 44	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
46	31, 45	mtbid 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47		rankon 8271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48		eloni 5436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49		eloni 5436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50		ordtri3or 5458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
51	48, 49, 50	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
52	47, 38, 51	sylancr 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53		3orass 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
54	52, 53	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
55	54	ord 379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
56	55	ad2ant2r 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
57	46, 56	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
58	6, 30, 57	mpjaod 383	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
59	58	ex 436	. . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
60	59	exlimdv 1781	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
61	1, 60	syl5bi 221	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62		simpll 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63		ne0i 3739	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
64	63, 34	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
65	64	ad2ant2r 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
66	65, 36, 37	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67		simprl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68		fveq2 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
69	68	ad2antll 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70		elina 9117	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
71	70	simp2bi 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
73	69, 72	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74		rankcf 9207	. . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75		fvex 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76		vex 3050	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77		domtri 8986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
78	75, 76, 77	mp2an 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
79	74, 78	mpbir 213	. . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
80	73, 79	syl6eqbrr 4444	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81		grudomon 9247	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
82	62, 66, 67, 80, 81	syl112anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83		elin 3619	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
84	83	biimpri 210	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
85	84, 33	syl6eleqr 2542	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86		ordirr 5444	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
87	49, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
88	87	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
89	85, 88	pm2.21dd 178	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
90	82, 66, 89	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
91	90	rexlimdvaa 2882	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
92	61, 91	syld 45	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
93	92	pm2.18d 115	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
94	33	grur1a 9249	. . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
95	94	adantr 467	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
96	93, 95	eqssd 3451	1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   \/ w3o 985   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   Tr wtr 4500   dom cdm 4837   "cima 4840   Ord word 5425   Oncon0 5426   Fun wfun 5579   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585   ~<_ cdom 7572   ~< csdm 7573   TCctc 8225   R1cr1 8238   rankcrnk 8239   cfccf 8376   InaccWcwina 9112   Inacccina 9113   Univcgru 9220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-tc 8226  df-r1 8240  df-rank 8241  df-card 8378  df-cf 8380  df-acn 8381  df-ac 8552  df-wina 9114  df-ina 9115  df-gru 9221

This theorem is referenced by:  grutsk  9252  bj-grur1  31639