Theorem grur1 9215

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1	|- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem grur1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nss 3557	. . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
3	2	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
4	3	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5	4	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6	5	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9		r1elssi 8240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
10	9	sseld 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
11	7, 8, 10	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12		tcrank 8319	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
14	13	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15		gruelss 9189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16		grutr 9188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19		tcmin 8189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
21	15, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22		rankf 8229	. . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25		fvelima 5925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
26	24, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27		ssrexv 3561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
28	21, 26, 27	syl2im 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
29	28	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
30	14, 29	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32		ne0i 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33		gruina.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
34	33	gruina 9213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
35	32, 34	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36		inawina 9085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37		winaon 9083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
38	35, 36, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39		r1fnon 8202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40		fndm 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
42	38, 41	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
43	42	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44		rankr1ag 8237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
45	11, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
46	31, 45	mtbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47		rankon 8230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48		eloni 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49		eloni 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50		ordtri3or 4919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
51	48, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
52	47, 38, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53		3orass 976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
54	52, 53	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
55	54	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
56	55	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
57	46, 56	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
58	6, 30, 57	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
59	58	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
60	59	exlimdv 1725	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
61	1, 60	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63		ne0i 3799	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
64	63, 34	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
65	64	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
66	65, 36, 37	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
69	68	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70		elina 9082	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
71	70	simp2bi 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
72	65, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
73	69, 72	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74		rankcf 9172	. . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77		domtri 8948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
78	75, 76, 77	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
79	74, 78	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
80	73, 79	syl6eqbrr 4494	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81		grudomon 9212	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
82	62, 66, 67, 80, 81	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83		elin 3683	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
84	83	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
85	84, 33	syl6eleqr 2556	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86		ordirr 4905	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
87	49, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
88	87	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
89	85, 88	pm2.21dd 174	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
90	82, 66, 89	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
91	90	rexlimdvaa 2950	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
92	61, 91	syld 44	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
93	92	pm2.18d 111	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
94	33	grur1a 9214	. . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
95	94	adantr 465	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
96	93, 95	eqssd 3516	1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   Tr wtr 4550   Ord word 4886   Oncon0 4887   dom cdm 5008   "cima 5011   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   ~<_ cdom 7533   ~< csdm 7534   TCctc 8184   R1cr1 8197   rankcrnk 8198   cfccf 8335   InaccWcwina 9077   Inacccina 9078   Univcgru 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-tc 8185  df-r1 8199  df-rank 8200  df-card 8337  df-cf 8339  df-acn 8340  df-ac 8514  df-wina 9079  df-ina 9080  df-gru 9186

This theorem is referenced by:  grutsk  9217  bj-grur1  34712