Theorem grur1 9245

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1	|- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem grur1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nss 3522	. . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
3	2	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
4	3	rspcev 3182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5	4	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6	5	ad2antrl 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7		simplr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9		r1elssi 8277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
10	9	sseld 3463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
11	7, 8, 10	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12		tcrank 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
14	13	eleq2d 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15		gruelss 9219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16		grutr 9218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
17	16	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18		vex 3084	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19		tcmin 8226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
21	15, 17, 20	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22		rankf 8266	. . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23		ffun 5744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25		fvelima 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
26	24, 25	mpan 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27		ssrexv 3526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
28	21, 26, 27	syl2im 39	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
29	28	ad2ant2r 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
30	14, 29	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31		simprr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32		ne0i 3767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33		gruina.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
34	33	gruina 9243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
35	32, 34	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36		inawina 9115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37		winaon 9113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39		r1fnon 8239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40		fndm 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
42	38, 41	syl6eleqr 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
43	42	ad2ant2r 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44		rankr1ag 8274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
45	11, 43, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
46	31, 45	mtbid 301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47		rankon 8267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48		eloni 5448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49		eloni 5448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50		ordtri3or 5470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
51	48, 49, 50	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
52	47, 38, 51	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53		3orass 985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
54	52, 53	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
55	54	ord 378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
56	55	ad2ant2r 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
57	46, 56	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
58	6, 30, 57	mpjaod 382	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
59	58	ex 435	. . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
60	59	exlimdv 1768	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
61	1, 60	syl5bi 220	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62		simpll 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63		ne0i 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
64	63, 34	sylan2 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
65	64	ad2ant2r 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
66	65, 36, 37	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67		simprl 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68		fveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
69	68	ad2antll 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70		elina 9112	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
71	70	simp2bi 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
73	69, 72	eqtrd 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74		rankcf 9202	. . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75		fvex 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77		domtri 8981	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
78	75, 76, 77	mp2an 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
79	74, 78	mpbir 212	. . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
80	73, 79	syl6eqbrr 4459	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81		grudomon 9242	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
82	62, 66, 67, 80, 81	syl112anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83		elin 3649	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
84	83	biimpri 209	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
85	84, 33	syl6eleqr 2521	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86		ordirr 5456	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
87	49, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
88	87	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
89	85, 88	pm2.21dd 177	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
90	82, 66, 89	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
91	90	rexlimdvaa 2918	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
92	61, 91	syld 45	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
93	92	pm2.18d 114	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
94	33	grur1a 9244	. . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
95	94	adantr 466	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
96	93, 95	eqssd 3481	1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   \/ w3o 981   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   Tr wtr 4515   dom cdm 4849   "cima 4852   Ord word 5437   Oncon0 5438   Fun wfun 5591   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597   ~<_ cdom 7571   ~< csdm 7572   TCctc 8221   R1cr1 8234   rankcrnk 8235   cfccf 8372   InaccWcwina 9107   Inacccina 9108   Univcgru 9215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-ac2 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-tc 8222  df-r1 8236  df-rank 8237  df-card 8374  df-cf 8376  df-acn 8377  df-ac 8547  df-wina 9109  df-ina 9110  df-gru 9216

This theorem is referenced by:  grutsk  9247  bj-grur1  31581