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Theorem grur1 9250
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem grur1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3492 . . . . 5  |-  ( -.  U  C_  ( R1 `  A )  <->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  x
) )
32eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( rank `  y )  =  A  <->  ( rank `  x
)  =  A ) )
43rspcev 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
54ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  ->  (
( rank `  x )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
65ad2antrl 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
7 simplr 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  U  e.  U. ( R1 " On ) )
8 simprl 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U )
9 r1elssi 8281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  ->  U  C_  U. ( R1
" On ) )
109sseld 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
117, 8, 10sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
12 tcrank 8360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1413eleq2d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  <->  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) ) )
15 gruelss 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  x  C_  U )
16 grutr 9223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  Tr  U
)
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  Tr  U )
18 vex 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
19 tcmin 8230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  C_  U  /\  Tr  U )  -> 
( TC `  x
)  C_  U )
)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  U  /\  Tr  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
2115, 17, 20syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
22 rankf 8270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
23 ffun 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  rank
25 fvelima 5922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  rank  /\  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x
) ( rank `  y
)  =  A )
2624, 25mpan 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x ) ( rank `  y
)  =  A )
27 ssrexv 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( TC `  x ) 
C_  U  ->  ( E. y  e.  ( TC `  x ) (
rank `  y )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2821, 26, 27syl2im 39 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2928ad2ant2r 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3014, 29sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
31 simprr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )
32 ne0i 3739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
33 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  =  ( U  i^i  On )
3433gruina 9248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
3532, 34sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
36 inawina 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
37 winaon 9118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  On )
39 r1fnon 8243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R1  Fn  On
40 fndm 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R1  =  On
4238, 41syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  dom  R1 )
4342ad2ant2r 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
44 rankr1ag 8278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
4511, 43, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
4631, 45mtbid 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  ( rank `  x
)  e.  A )
47 rankon 8271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank `  x )  e.  On
48 eloni 5436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
49 eloni 5436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
50 ordtri3or 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  ( rank `  x
)  /\  Ord  A )  ->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
5148, 49, 50syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
5247, 38, 51sylancr 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
53 3orass 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) )  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( (
rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5452, 53sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  (
( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5554ord 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( -.  ( rank `  x
)  e.  A  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5655ad2ant2r 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( -.  ( rank `  x )  e.  A  ->  ( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5746, 56mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
586, 30, 57mpjaod 383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
5958ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  (
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
6059exlimdv 1781 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
611, 60syl5bi 221 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
62 simpll 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  e.  Univ )
63 ne0i 3739 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6463, 34sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  y  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
6564ad2ant2r 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  Inacc )
6665, 36, 373syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  On )
67 simprl 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  y  e.  U )
68 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  y )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
6968ad2antll 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
70 elina 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
7170simp2bi 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
7265, 71syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  A )  =  A )
7369, 72eqtrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  A )
74 rankcf 9207 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) )
75 fvex 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  e.  _V
76 vex 3050 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
77 domtri 8986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cf `  ( rank `  y ) )  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  (
( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y
) ) )
7974, 78mpbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  ~<_  y
8073, 79syl6eqbrr 4444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  ~<_  y )
81 grudomon 9247 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( y  e.  U  /\  A  ~<_  y ) )  ->  A  e.  U )
8262, 66, 67, 80, 81syl112anc 1273 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  U )
83 elin 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( U  i^i  On )  <->  ( A  e.  U  /\  A  e.  On ) )
8483biimpri 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  ( U  i^i  On ) )
8584, 33syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  A )
86 ordirr 5444 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
8749, 86syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  A  e.  A )
8887adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  -.  A  e.  A
)
8985, 88pm2.21dd 178 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) )
9082, 66, 89syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9190rexlimdvaa 2882 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9261, 91syld 45 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9392pm2.18d 115 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9433grur1a 9249 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
9594adantr 467 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9693, 95eqssd 3451 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 985    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   Tr wtr 4500   dom cdm 4837   "cima 4840   Ord word 5425   Oncon0 5426   Fun wfun 5579    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585    ~<_ cdom 7572    ~< csdm 7573   TCctc 8225   R1cr1 8238   rankcrnk 8239   cfccf 8376   InaccWcwina 9112   Inacccina 9113   Univcgru 9220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-tc 8226  df-r1 8240  df-rank 8241  df-card 8378  df-cf 8380  df-acn 8381  df-ac 8552  df-wina 9114  df-ina 9115  df-gru 9221
This theorem is referenced by:  grutsk  9252  bj-grur1  31639
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