Theorem grur1 8990

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	|- A = ( U i^i On )

Assertion

Ref	Expression
grur1	|- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem grur1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nss 3417	. . . . 5 |- ( -. U C_ ( R1 ` A ) <-> E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) )
2		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( rank ` y ) = ( rank ` x ) )
3	2	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( rank ` y ) = A <-> ( rank ` x ) = A ) )
4	3	rspcev 3076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U /\ ( rank ` x ) = A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
5	4	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
6	5	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
7		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> U e. U. ( R1 " On ) )
8		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U )
9		r1elssi 8015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> U C_ U. ( R1 " On ) )
10	9	sseld 3358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. U -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
11	7, 8, 10	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
12		tcrank 8094	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( rank ` x ) = ( rank " ( TC ` x ) ) )
14	13	eleq2d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) <-> A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) )
15		gruelss 8964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> x C_ U )
16		grutr 8963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. Univ -> Tr U )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> Tr U )
18		vex 2978	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
19		tcmin 7964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. _V -> ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ U /\ Tr U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
21	15, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( TC ` x ) C_ U )
22		rankf 8004	. . . . . . . . . . . . 13 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
23		ffun 5564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun rank
25		fvelima 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun rank /\ A e. ( rank " ( TC ` x ) ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
26	24, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A )
27		ssrexv 3420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TC ` x ) C_ U -> ( E. y e. ( TC ` x ) ( rank ` y ) = A -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
28	21, 26, 27	syl2im 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
29	28	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank " ( TC ` x ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
30	14, 29	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( A e. ( rank ` x ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
31		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. x e. ( R1 ` A ) )
32		ne0i 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U -> U =/= (/) )
33		gruina.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A = ( U i^i On )
34	33	gruina 8988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. Univ /\ U =/= (/) ) -> A e. Inacc )
35	32, 34	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. Inacc )
36		inawina 8860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
37		winaon 8858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
38	35, 36, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. On )
39		r1fnon 7977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R1 Fn On
40		fndm 5513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom R1 = On
42	38, 41	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> A e. dom R1 )
43	42	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> A e. dom R1 )
44		rankr1ag 8012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
45	11, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
46	31, 45	mtbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> -. ( rank ` x ) e. A )
47		rankon 8005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( rank ` x ) e. On
48		eloni 4732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
49		eloni 4732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> Ord A )
50		ordtri3or 4754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord ( rank ` x ) /\ Ord A ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
51	48, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
52	47, 38, 51	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
53		3orass 968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
54	52, 53	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
55	54	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Univ /\ x e. U ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
56	55	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( -. ( rank ` x ) e. A -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) ) )
57	46, 56	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ A e. ( rank ` x ) ) )
58	6, 30, 57	mpjaod 381	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A )
59	58	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
60	59	exlimdv 1690	. . . . 5 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. x ( x e. U /\ -. x e. ( R1 ` A ) ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
61	1, 60	syl5bi 217	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> E. y e. U ( rank ` y ) = A ) )
62		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U e. Univ )
63		ne0i 3646	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U -> U =/= (/) )
64	63, 34	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. Univ /\ y e. U ) -> A e. Inacc )
65	64	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. Inacc )
66	65, 36, 37	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. On )
67		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> y e. U )
68		fveq2 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rank ` y ) = A -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
69	68	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = ( cf ` A ) )
70		elina 8857	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
71	70	simp2bi 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
72	65, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` A ) = A )
73	69, 72	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> ( cf ` ( rank ` y ) ) = A )
74		rankcf 8947	. . . . . . . . 9 |- -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) )
75		fvex 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V
76		vex 2978	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
77		domtri 8723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cf ` ( rank ` y ) ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) ) )
78	75, 76, 77	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y <-> -. y ~< ( cf ` ( rank ` y ) ) )
79	74, 78	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- ( cf ` ( rank ` y ) ) ~<_ y
80	73, 79	syl6eqbrr 4333	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A ~<_ y )
81		grudomon 8987	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( y e. U /\ A ~<_ y ) ) -> A e. U )
82	62, 66, 67, 80, 81	syl112anc 1222	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> A e. U )
83		elin 3542	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( U i^i On ) <-> ( A e. U /\ A e. On ) )
84	83	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. ( U i^i On ) )
85	84, 33	syl6eleqr 2534	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> A e. A )
86		ordirr 4740	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> -. A e. A )
87	49, 86	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> -. A e. A )
88	87	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> -. A e. A )
89	85, 88	pm2.21dd 174	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ A e. On ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
90	82, 66, 89	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) /\ ( y e. U /\ ( rank ` y ) = A ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
91	90	rexlimdvaa 2845	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( E. y e. U ( rank ` y ) = A -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
92	61, 91	syld 44	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( -. U C_ ( R1 ` A ) -> U C_ ( R1 ` A ) ) )
93	92	pm2.18d 111	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U C_ ( R1 ` A ) )
94	33	grur1a 8989	. . 3 |- ( U e. Univ -> ( R1 ` A ) C_ U )
95	94	adantr 465	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> ( R1 ` A ) C_ U )
96	93, 95	eqssd 3376	1 |- ( ( U e. Univ /\ U e. U. ( R1 " On ) ) -> U = ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 964   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   class class class wbr 4295   Tr wtr 4388   Ord word 4721   Oncon0 4722   dom cdm 4843   "cima 4846   Fun wfun 5415   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421   ~<_ cdom 7311   ~< csdm 7312   TCctc 7959   R1cr1 7972   rankcrnk 7973   cfccf 8110   InaccWcwina 8852   Inacccina 8853   Univcgru 8960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-ac2 8635

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-tc 7960  df-r1 7974  df-rank 7975  df-card 8112  df-cf 8114  df-acn 8115  df-ac 8289  df-wina 8854  df-ina 8855  df-gru 8961

This theorem is referenced by:  grutsk  8992  bj-grur1  32523