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Theorem grur1 8990
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1  |-  A  =  ( U  i^i  On )
Assertion
Ref Expression
grur1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem grur1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 3417 . . . . 5  |-  ( -.  U  C_  ( R1 `  A )  <->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  x
) )
32eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( rank `  y )  =  A  <->  ( rank `  x
)  =  A ) )
43rspcev 3076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
54ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  ->  (
( rank `  x )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
65ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
7 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  U  e.  U. ( R1 " On ) )
8 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U )
9 r1elssi 8015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  ->  U  C_  U. ( R1
" On ) )
109sseld 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
117, 8, 10sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
12 tcrank 8094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( rank `  x )  =  ( rank " ( TC `  x ) ) )
1413eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  <->  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) ) )
15 gruelss 8964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  x  C_  U )
16 grutr 8963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  Univ  ->  Tr  U
)
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  Tr  U )
18 vex 2978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
19 tcmin 7964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  C_  U  /\  Tr  U )  -> 
( TC `  x
)  C_  U )
)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  U  /\  Tr  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
2115, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( TC `  x )  C_  U )
22 rankf 8004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
23 ffun 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  rank
25 fvelima 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  rank  /\  A  e.  ( rank " ( TC `  x ) ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x
) ( rank `  y
)  =  A )
2624, 25mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  ( TC `  x ) ( rank `  y
)  =  A )
27 ssrexv 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( TC `  x ) 
C_  U  ->  ( E. y  e.  ( TC `  x ) (
rank `  y )  =  A  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2821, 26, 27syl2im 38 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( A  e.  ( rank " ( TC `  x
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
2928ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank " ( TC `  x ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
3014, 29sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( A  e.  (
rank `  x )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
31 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )
32 ne0i 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
33 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  =  ( U  i^i  On )
3433gruina 8988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  =/=  (/) )  ->  A  e.  Inacc )
3532, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
36 inawina 8860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
37 winaon 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  On )
39 r1fnon 7977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R1  Fn  On
40 fndm 5513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R1  =  On
4238, 41syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  A  e.  dom  R1 )
4342ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
44 rankr1ag 8012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
4511, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
4631, 45mtbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  -.  ( rank `  x
)  e.  A )
47 rankon 8005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank `  x )  e.  On
48 eloni 4732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
49 eloni 4732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
50 ordtri3or 4754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  ( rank `  x
)  /\  Ord  A )  ->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
5148, 49, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
5247, 38, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) )
53 3orass 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) )  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( (
rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  (
( rank `  x )  e.  A  \/  (
( rank `  x )  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x
) ) ) )
5554ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  e.  U )  ->  ( -.  ( rank `  x
)  e.  A  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5655ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( -.  ( rank `  x )  e.  A  ->  ( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) ) )
5746, 56mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  A  e.  ( rank `  x ) ) )
586, 30, 57mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A )
5958ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  (
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
6059exlimdv 1690 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
611, 60syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A ) )
62 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  e.  Univ )
63 ne0i 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
6463, 34sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  y  e.  U )  ->  A  e.  Inacc )
6564ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  Inacc )
6665, 36, 373syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  On )
67 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  y  e.  U )
68 fveq2 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  y )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
6968ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  ( cf `  A ) )
70 elina 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
7170simp2bi 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
7265, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  A )  =  A )
7369, 72eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  ( cf `  ( rank `  y
) )  =  A )
74 rankcf 8947 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) )
75 fvex 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  e.  _V
76 vex 2978 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
77 domtri 8723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cf `  ( rank `  y ) )  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  (
( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y ) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  ( rank `  y ) )  ~<_  y  <->  -.  y  ~<  ( cf `  ( rank `  y
) ) )
7974, 78mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( rank `  y
) )  ~<_  y
8073, 79syl6eqbrr 4333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  ~<_  y )
81 grudomon 8987 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( y  e.  U  /\  A  ~<_  y ) )  ->  A  e.  U )
8262, 66, 67, 80, 81syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  A  e.  U )
83 elin 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( U  i^i  On )  <->  ( A  e.  U  /\  A  e.  On ) )
8483biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  ( U  i^i  On ) )
8584, 33syl6eleqr 2534 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  A )
86 ordirr 4740 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
8749, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  A  e.  A )
8887adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  -.  A  e.  A
)
8985, 88pm2.21dd 174 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U  /\  A  e.  On )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) )
9082, 66, 89syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  /\  ( y  e.  U  /\  ( rank `  y )  =  A ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9190rexlimdvaa 2845 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( E. y  e.  U  ( rank `  y )  =  A  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9261, 91syld 44 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( -.  U  C_  ( R1
`  A )  ->  U  C_  ( R1 `  A ) ) )
9392pm2.18d 111 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  C_  ( R1 `  A
) )
9433grur1a 8989 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( R1
`  A )  C_  U )
9594adantr 465 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( R1 `  A )  C_  U )
9693, 95eqssd 3376 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  U  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  U  =  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   class class class wbr 4295   Tr wtr 4388   Ord word 4721   Oncon0 4722   dom cdm 4843   "cima 4846   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421    ~<_ cdom 7311    ~< csdm 7312   TCctc 7959   R1cr1 7972   rankcrnk 7973   cfccf 8110   InaccWcwina 8852   Inacccina 8853   Univcgru 8960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-ac2 8635
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-tc 7960  df-r1 7974  df-rank 7975  df-card 8112  df-cf 8114  df-acn 8115  df-ac 8289  df-wina 8854  df-ina 8855  df-gru 8961
This theorem is referenced by:  grutsk  8992  bj-grur1  32523
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