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Theorem grupr 9187
Description: A Grothendieck universe contains pairs derived from its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grupr  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)

Proof of Theorem grupr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elgrug 9182 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
21ibi 241 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
32simprd 463 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
4 preq2 4113 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  { x ,  y }  =  { x ,  B } )
54eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( { x ,  y }  e.  U  <->  { x ,  B }  e.  U
) )
65rspccv 3216 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U ) )
763ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
87com12 31 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U  ->  (
( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U )  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
98ralimdv 2877 . . . . 5  |-  ( B  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
103, 9syl5com 30 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
11 preq1 4112 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
1211eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( { x ,  B }  e.  U  <->  { A ,  B }  e.  U
) )
1312rspccv 3216 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U  {
x ,  B }  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U
) )
1410, 13syl6 33 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
1514com23 78 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
16153imp 1190 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   ~Pcpw 4016   {cpr 4035   U.cuni 4251   Tr wtr 4546   ran crn 5006  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Univcgru 9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-tr 4547  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-gru 9181
This theorem is referenced by:  grusn  9194  gruop  9195  gruun  9196  gruwun  9203  intgru  9204
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