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Theorem grupr 8960
Description: A Grothendieck universe contains pairs derived from its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grupr  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)

Proof of Theorem grupr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elgrug 8955 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( U  e.  Univ  <->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
) ) ) )
21ibi 241 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( Tr  U  /\  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
) )
32simprd 460 . . . . 5  |-  ( U  e.  Univ  ->  A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U )
)
4 preq2 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  { x ,  y }  =  { x ,  B } )
54eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( { x ,  y }  e.  U  <->  { x ,  B }  e.  U
) )
65rspccv 3067 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U  {
x ,  y }  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U ) )
763ad2ant2 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  ( B  e.  U  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
87com12 31 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U  ->  (
( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x
) U. ran  y  e.  U )  ->  { x ,  B }  e.  U
) )
98ralimdv 2793 . . . . 5  |-  ( B  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( ~P x  e.  U  /\  A. y  e.  U  { x ,  y }  e.  U  /\  A. y  e.  ( U  ^m  x ) U. ran  y  e.  U
)  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
103, 9syl5com 30 . . . 4  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  A. x  e.  U  { x ,  B }  e.  U
) )
11 preq1 3951 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  { x ,  B }  =  { A ,  B }
)
1211eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( { x ,  B }  e.  U  <->  { A ,  B }  e.  U
) )
1312rspccv 3067 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U  {
x ,  B }  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U
) )
1410, 13syl6 33 . . 3  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( B  e.  U  ->  ( A  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
1514com23 78 . 2  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( A  e.  U  ->  ( B  e.  U  ->  { A ,  B }  e.  U ) ) )
16153imp 1176 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  U  /\  B  e.  U )  ->  { A ,  B }  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ~Pcpw 3857   {cpr 3876   U.cuni 4088   Tr wtr 4382   ran crn 4837  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Univcgru 8953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-tr 4383  df-iota 5378  df-fv 5423  df-ov 6093  df-gru 8954
This theorem is referenced by:  grusn  8967  gruop  8968  gruun  8969  gruwun  8976  intgru  8977
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