Theorem grudomon 9243

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	|- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ B <-> y ~<_ B ) )
2		eleq1 2494	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
3	1, 2	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
4	3	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) ) )
5		breq1 4423	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x ~<_ B <-> A ~<_ B ) )
6		eleq1 2494	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 321	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
8	7	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) ) )
9		r19.21v 2830	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
10		simpl1 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> x e. On )
11		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
12		onelss 5481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
13	12	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y C_ x )
14		ssdomg 7619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
15	11, 13, 14	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
16	10, 15	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
17		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> x ~<_ B )
18		domtr 7626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~<_ B ) -> y ~<_ B )
19	16, 17, 18	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ B )
20		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ~<_ B -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
22	21	ralimdva 2833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> A. y e. x y e. U ) )
23		dfss3 3454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ U <-> A. y e. x y e. U )
24		domeng 7588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. U -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
25	24	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
26	25	biimpa 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) )
27		simpl2 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> U e. Univ )
28		gruss 9222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U /\ y C_ B ) -> y e. U )
29	28	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
30	29	3adant1 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
31	30	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
32		ensym 7622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x ~~ y -> y ~~ x ) )
34	31, 33	anim12d 565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( y C_ B /\ x ~~ y ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
35	34	ancomsd 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
36	35	eximdv 1754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
37		gruen 9238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x C_ U /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) ) -> x e. U )
38	37	3com23 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) /\ x C_ U ) -> x e. U )
39	38	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
40	39	exlimdv 1768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. Univ -> ( E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
41	27, 36, 40	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) )
43	23, 42	syl5bir 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x y e. U -> x e. U ) )
44	22, 43	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) )
45	44	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) ) )
46	45	com23 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) )
47	46	3expib 1208	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
48	47	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
49	9, 48	syl5bi 220	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
50	4, 8, 49	tfis3 6695	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
51	50	com3l 84	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> ( A e. On -> A e. U ) ) )
52	51	impr 623	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> ( A e. On -> A e. U ) )
53	52	3impia 1202	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) /\ A e. On ) -> A e. U )
54	53	3com23 1211	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   class class class wbr 4420   Oncon0 5439   ~~ cen 7571   ~<_ cdom 7572   Univcgru 9216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-gru 9217

This theorem is referenced by:  gruina  9244  grur1  9246