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Theorem grudomon 9243
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~<_  B  <->  y  ~<_  B ) )
2 eleq1 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
31, 2imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) )
43imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 4423 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~<_  B  <->  A  ~<_  B ) )
6 eleq1 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
75, 6imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) )
87imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) ) )
9 r19.21v 2830 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) ) )
10 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  x  e.  On )
11 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
12 onelss 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
1312imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
14 ssdomg 7619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  C_  x  ->  y  ~<_  x ) )
1511, 13, 14mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
1610, 15sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  x )
17 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  ~<_  B )
18 domtr 7626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  ~<_  x  /\  x  ~<_  B )  ->  y  ~<_  B )
1916, 17, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  B )
20 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  ~<_  B  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2221ralimdva 2833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  A. y  e.  x  y  e.  U )
)
23 dfss3 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  U  <->  A. y  e.  x  y  e.  U )
24 domeng 7588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  U  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
25243ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
2625biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) )
27 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  U  e.  Univ )
28 gruss 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U  /\  y  C_  B )  ->  y  e.  U )
29283expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
30293adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
32 ensym 7622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  ~~  y  ->  y 
~~  x ) )
3431, 33anim12d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( y  C_  B  /\  x  ~~  y )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3534ancomsd 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( x  ~~  y  /\  y  C_  B )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3635eximdv 1754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  E. y
( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
37 gruen 9238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  C_  U  /\  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) )  ->  x  e.  U )
38373com23 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
y  e.  U  /\  y  ~~  x )  /\  x  C_  U )  ->  x  e.  U )
39383exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  -> 
( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4039exlimdv 1768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( E. y ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4127, 36, 40sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) )
4323, 42syl5bir 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U  ->  x  e.  U ) )
4422, 43syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) )
4544ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) ) )
4645com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) )
47463expib 1208 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
4847a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
499, 48syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
504, 8, 49tfis3 6695 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U
) ) )
5150com3l 84 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) ) )
5251impr 623 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) )
53523impia 1202 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  U )
54533com23 1211 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   class class class wbr 4420   Oncon0 5439    ~~ cen 7571    ~<_ cdom 7572   Univcgru 9216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-gru 9217
This theorem is referenced by:  gruina  9244  grur1  9246
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