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Theorem grudomon 8980
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~<_  B  <->  y  ~<_  B ) )
2 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
31, 2imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) )
43imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~<_  B  <->  A  ~<_  B ) )
6 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) )
87imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) ) )
9 r19.21v 2801 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) ) )
10 simpl1 986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  x  e.  On )
11 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
12 onelss 4757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
14 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  C_  x  ->  y  ~<_  x ) )
1511, 13, 14mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
1610, 15sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  x )
17 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  ~<_  B )
18 domtr 7358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  ~<_  x  /\  x  ~<_  B )  ->  y  ~<_  B )
1916, 17, 18syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  B )
20 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  ~<_  B  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2221ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  A. y  e.  x  y  e.  U )
)
23 dfss3 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  U  <->  A. y  e.  x  y  e.  U )
24 domeng 7320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  U  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
25243ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
2625biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) )
27 simpl2 987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  U  e.  Univ )
28 gruss 8959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U  /\  y  C_  B )  ->  y  e.  U )
29283expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
30293adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
3130adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
32 ensym 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  ~~  y  ->  y 
~~  x ) )
3431, 33anim12d 560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( y  C_  B  /\  x  ~~  y )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3534ancomsd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( x  ~~  y  /\  y  C_  B )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3635eximdv 1681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  E. y
( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
37 gruen 8975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  C_  U  /\  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) )  ->  x  e.  U )
38373com23 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
y  e.  U  /\  y  ~~  x )  /\  x  C_  U )  ->  x  e.  U )
39383exp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  -> 
( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4039exlimdv 1695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( E. y ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4127, 36, 40sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) )
4323, 42syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U  ->  x  e.  U ) )
4422, 43syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) )
47463expib 1185 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
4847a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
499, 48syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
504, 8, 49tfis3 6467 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U
) ) )
5150com3l 81 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) ) )
5251impr 616 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) )
53523impia 1179 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  U )
54533com23 1188 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289   Oncon0 4715    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304   Univcgru 8953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-gru 8954
This theorem is referenced by:  gruina  8981  grur1  8983
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