Theorem grudomon 9184

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	|- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4442	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ B <-> y ~<_ B ) )
2		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
3	1, 2	imbi12d 318	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
4	3	imbi2d 314	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) ) )
5		breq1 4442	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x ~<_ B <-> A ~<_ B ) )
6		eleq1 2526	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 318	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
8	7	imbi2d 314	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) ) )
9		r19.21v 2859	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
10		simpl1 997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> x e. On )
11		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
12		onelss 4909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
13	12	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y C_ x )
14		ssdomg 7554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
15	11, 13, 14	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
16	10, 15	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
17		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> x ~<_ B )
18		domtr 7561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~<_ B ) -> y ~<_ B )
19	16, 17, 18	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ B )
20		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ~<_ B -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
22	21	ralimdva 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> A. y e. x y e. U ) )
23		dfss3 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ U <-> A. y e. x y e. U )
24		domeng 7523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. U -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
25	24	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
26	25	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) )
27		simpl2 998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> U e. Univ )
28		gruss 9163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U /\ y C_ B ) -> y e. U )
29	28	3expia 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
30	29	3adant1 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
32		ensym 7557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x ~~ y -> y ~~ x ) )
34	31, 33	anim12d 561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( y C_ B /\ x ~~ y ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
35	34	ancomsd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
36	35	eximdv 1715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
37		gruen 9179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x C_ U /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) ) -> x e. U )
38	37	3com23 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) /\ x C_ U ) -> x e. U )
39	38	3exp 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
40	39	exlimdv 1729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. Univ -> ( E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
41	27, 36, 40	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) )
43	23, 42	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x y e. U -> x e. U ) )
44	22, 43	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) )
45	44	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) ) )
46	45	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) )
47	46	3expib 1197	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
48	47	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
49	9, 48	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
50	4, 8, 49	tfis3 6665	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
51	50	com3l 81	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> ( A e. On -> A e. U ) ) )
52	51	impr 617	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> ( A e. On -> A e. U ) )
53	52	3impia 1191	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) /\ A e. On ) -> A e. U )
54	53	3com23 1200	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   Oncon0 4867   ~~ cen 7506   ~<_ cdom 7507   Univcgru 9157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-gru 9158

This theorem is referenced by:  gruina  9185  grur1  9187