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Theorem grudomon 9195
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~<_  B  <->  y  ~<_  B ) )
2 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
31, 2imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) )
43imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~<_  B  <->  A  ~<_  B ) )
6 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) )
87imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) ) )
9 r19.21v 2869 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) ) )
10 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  x  e.  On )
11 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
12 onelss 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
14 ssdomg 7561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  C_  x  ->  y  ~<_  x ) )
1511, 13, 14mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
1610, 15sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  x )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  ~<_  B )
18 domtr 7568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  ~<_  x  /\  x  ~<_  B )  ->  y  ~<_  B )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  B )
20 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  ~<_  B  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2221ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  A. y  e.  x  y  e.  U )
)
23 dfss3 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  U  <->  A. y  e.  x  y  e.  U )
24 domeng 7530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  U  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
25243ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) )
27 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  U  e.  Univ )
28 gruss 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U  /\  y  C_  B )  ->  y  e.  U )
29283expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
30293adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
32 ensym 7564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  ~~  y  ->  y 
~~  x ) )
3431, 33anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( y  C_  B  /\  x  ~~  y )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3534ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( x  ~~  y  /\  y  C_  B )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3635eximdv 1686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  E. y
( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
37 gruen 9190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  C_  U  /\  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) )  ->  x  e.  U )
38373com23 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
y  e.  U  /\  y  ~~  x )  /\  x  C_  U )  ->  x  e.  U )
39383exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  -> 
( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4039exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( E. y ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4127, 36, 40sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) )
4323, 42syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U  ->  x  e.  U ) )
4422, 43syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) )
47463expib 1199 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
4847a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
499, 48syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
504, 8, 49tfis3 6676 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U
) ) )
5150com3l 81 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) ) )
5251impr 619 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) )
53523impia 1193 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  U )
54533com23 1202 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Oncon0 4878    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514   Univcgru 9168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-gru 9169
This theorem is referenced by:  gruina  9196  grur1  9198
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