Theorem grudomon 8980

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	|- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ B <-> y ~<_ B ) )
2		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
3	1, 2	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
4	3	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) ) )
5		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x ~<_ B <-> A ~<_ B ) )
6		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) ) )
9		r19.21v 2801	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
10		simpl1 986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> x e. On )
11		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
12		onelss 4757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
13	12	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y C_ x )
14		ssdomg 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
15	11, 13, 14	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
16	10, 15	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
17		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> x ~<_ B )
18		domtr 7358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~<_ B ) -> y ~<_ B )
19	16, 17, 18	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ B )
20		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ~<_ B -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
22	21	ralimdva 2792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> A. y e. x y e. U ) )
23		dfss3 3343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ U <-> A. y e. x y e. U )
24		domeng 7320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. U -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
25	24	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
26	25	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) )
27		simpl2 987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> U e. Univ )
28		gruss 8959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U /\ y C_ B ) -> y e. U )
29	28	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
30	29	3adant1 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
31	30	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
32		ensym 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x ~~ y -> y ~~ x ) )
34	31, 33	anim12d 560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( y C_ B /\ x ~~ y ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
35	34	ancomsd 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
36	35	eximdv 1681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
37		gruen 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x C_ U /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) ) -> x e. U )
38	37	3com23 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) /\ x C_ U ) -> x e. U )
39	38	3exp 1181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
40	39	exlimdv 1695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. Univ -> ( E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
41	27, 36, 40	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) )
43	23, 42	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x y e. U -> x e. U ) )
44	22, 43	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) )
45	44	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) ) )
46	45	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) )
47	46	3expib 1185	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
48	47	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
49	9, 48	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
50	4, 8, 49	tfis3 6467	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
51	50	com3l 81	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> ( A e. On -> A e. U ) ) )
52	51	impr 616	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> ( A e. On -> A e. U ) )
53	52	3impia 1179	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) /\ A e. On ) -> A e. U )
54	53	3com23 1188	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   Oncon0 4715   ~~ cen 7303   ~<_ cdom 7304   Univcgru 8953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-gru 8954

This theorem is referenced by:  gruina  8981  grur1  8983