Theorem grudomon 9260

Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grudomon	|- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Proof of Theorem grudomon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ B <-> y ~<_ B ) )
2		eleq1 2537	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. U <-> y e. U ) )
3	1, 2	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
4	3	imbi2d 323	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) ) )
5		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x ~<_ B <-> A ~<_ B ) )
6		eleq1 2537	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( x e. U <-> A e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( x ~<_ B -> x e. U ) <-> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
8	7	imbi2d 323	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) ) )
9		r19.21v 2803	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) <-> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) )
10		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> x e. On )
11		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
12		onelss 5472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> ( y e. x -> y C_ x ) )
13	12	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y C_ x )
14		ssdomg 7633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. _V -> ( y C_ x -> y ~<_ x ) )
15	11, 13, 14	mpsyl 64	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
16	10, 15	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ x )
17		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> x ~<_ B )
18		domtr 7640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ x /\ x ~<_ B ) -> y ~<_ B )
19	16, 17, 18	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> y ~<_ B )
20		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y ~<_ B -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( y ~<_ B -> y e. U ) -> y e. U ) )
22	21	ralimdva 2805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> A. y e. x y e. U ) )
23		dfss3 3408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ U <-> A. y e. x y e. U )
24		domeng 7601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. U -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
25	24	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B <-> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) ) )
26	25	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) )
27		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> U e. Univ )
28		gruss 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U /\ y C_ B ) -> y e. U )
29	28	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
30	29	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
31	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( y C_ B -> y e. U ) )
32		ensym 7636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x ~~ y -> y ~~ x )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x ~~ y -> y ~~ x ) )
34	31, 33	anim12d 572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( y C_ B /\ x ~~ y ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
35	34	ancomsd 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
36	35	eximdv 1772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) ) )
37		gruen 9255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. Univ /\ x C_ U /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) ) -> x e. U )
38	37	3com23 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. Univ /\ ( y e. U /\ y ~~ x ) /\ x C_ U ) -> x e. U )
39	38	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. Univ -> ( ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
40	39	exlimdv 1787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. Univ -> ( E. y ( y e. U /\ y ~~ x ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
41	27, 36, 40	sylsyld 57	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( E. y ( x ~~ y /\ y C_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) ) )
42	26, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( x C_ U -> x e. U ) )
43	23, 42	syl5bir 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x y e. U -> x e. U ) )
44	22, 43	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) /\ x ~<_ B ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) )
45	44	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> x e. U ) ) )
46	45	com23 80	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) )
47	46	3expib 1234	. . . . . . . 8 |- ( x e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
48	47	a2d 28	. . . . . . 7 |- ( x e. On -> ( ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> A. y e. x ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
49	9, 48	syl5bi 225	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( y ~<_ B -> y e. U ) ) -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( x ~<_ B -> x e. U ) ) ) )
50	4, 8, 49	tfis3 6703	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> A e. U ) ) )
51	50	com3l 83	. . . 4 |- ( ( U e. Univ /\ B e. U ) -> ( A ~<_ B -> ( A e. On -> A e. U ) ) )
52	51	impr 631	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> ( A e. On -> A e. U ) )
53	52	3impia 1228	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) /\ A e. On ) -> A e. U )
54	53	3com23 1237	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. On /\ ( B e. U /\ A ~<_ B ) ) -> A e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   Oncon0 5430   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   Univcgru 9233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-gru 9234

This theorem is referenced by:  gruina  9261  grur1  9263