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Theorem grudomon 8984
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~<_  B  <->  y  ~<_  B ) )
2 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
31, 2imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) )
43imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U ) ) ) )
5 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~<_  B  <->  A  ~<_  B ) )
6 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ~<_  B  ->  x  e.  U )  <->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) )
87imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U ) ) ) )
9 r19.21v 2803 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  <->  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) ) )
10 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  x  e.  On )
11 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
12 onelss 4761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
1312imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  C_  x )
14 ssdomg 7355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  (
y  C_  x  ->  y  ~<_  x ) )
1511, 13, 14mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
1610, 15sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  x )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  ~<_  B )
18 domtr 7362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  ~<_  x  /\  x  ~<_  B )  ->  y  ~<_  B )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  ~<_  B )
20 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  ~<_  B  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  On  /\  U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  /\  x  ~<_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
y  ~<_  B  ->  y  e.  U )  ->  y  e.  U ) )
2221ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  A. y  e.  x  y  e.  U )
)
23 dfss3 3346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  U  <->  A. y  e.  x  y  e.  U )
24 domeng 7324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  U  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
25243ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  <->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  E. y
( x  ~~  y  /\  y  C_  B ) )
27 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  U  e.  Univ )
28 gruss 8963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U  /\  y  C_  B )  ->  y  e.  U )
29283expia 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
30293adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
y  C_  B  ->  y  e.  U ) )
32 ensym 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x 
~~  y  ->  y  ~~  x )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  ~~  y  ->  y 
~~  x ) )
3431, 33anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( y  C_  B  /\  x  ~~  y )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3534ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
( x  ~~  y  /\  y  C_  B )  ->  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
3635eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  E. y
( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) ) )
37 gruen 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  x  C_  U  /\  ( y  e.  U  /\  y  ~~  x ) )  ->  x  e.  U )
38373com23 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  (
y  e.  U  /\  y  ~~  x )  /\  x  C_  U )  ->  x  e.  U )
39383exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  -> 
( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4039exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  Univ  ->  ( E. y ( y  e.  U  /\  y  ~~  x )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4127, 36, 40sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( E. y ( x  ~~  y  /\  y  C_  B
)  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) ) )
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  (
x  C_  U  ->  x  e.  U ) )
4323, 42syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U  ->  x  e.  U ) )
4422, 43syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  /\  x  ~<_  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  (
x  ~<_  B  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  x  e.  U
) ) )
4645com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  /\  U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  -> 
y  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) )
47463expib 1190 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
)  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
4847a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  A. y  e.  x  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
499, 48syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( U  e. 
Univ  /\  B  e.  U
)  ->  ( y  ~<_  B  ->  y  e.  U
) )  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( x  ~<_  B  ->  x  e.  U
) ) ) )
504, 8, 49tfis3 6468 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  (
( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  U
) ) )
5150com3l 81 . . . 4  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  B  e.  U )  ->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) ) )
5251impr 619 . . 3  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  ( A  e.  On  ->  A  e.  U ) )
53523impia 1184 . 2  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  U )
54533com23 1193 1  |-  ( ( U  e.  Univ  /\  A  e.  On  /\  ( B  e.  U  /\  A  ~<_  B ) )  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   Oncon0 4719    ~~ cen 7307    ~<_ cdom 7308   Univcgru 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-gru 8958
This theorem is referenced by:  gruina  8985  grur1  8987
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