Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grstructeld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem grstructeld 39289
Description: If any representation of a graph with vertices  V and edges  E is an element of an arbitrary class  C, then any structure with base set  V and value  E in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices  V and edges  E) is an element of this class  C. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gropeld.g  |-  ( ph  ->  A. g ( ( (Vtx `  g )  =  V  /\  (iEdg `  g )  =  E )  ->  g  e.  C ) )
gropeld.v  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
gropeld.e  |-  ( ph  ->  E  e.  W )
grstructeld.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
grstructeld.f  |-  ( ph  ->  Fun  S )
grstructeld.d  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  dom  S ) )
grstructeld.b  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  V )
grstructeld.e  |-  ( ph  ->  (.ef `  S )  =  E )
Assertion
Ref Expression
grstructeld  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Distinct variable groups:    C, g    g, E    g, V    ph, g    S, g
Allowed substitution hints:    U( g)    W( g)    X( g)

Proof of Theorem grstructeld
StepHypRef Expression
1 gropeld.g . . 3  |-  ( ph  ->  A. g ( ( (Vtx `  g )  =  V  /\  (iEdg `  g )  =  E )  ->  g  e.  C ) )
2 gropeld.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  U )
3 gropeld.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  W )
4 grstructeld.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
5 grstructeld.f . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  S )
6 grstructeld.d . . 3  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  dom  S ) )
7 grstructeld.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  V )
8 grstructeld.e . . 3  |-  ( ph  ->  (.ef `  S )  =  E )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8grstructd 39287 . 2  |-  ( ph  ->  [. S  /  g ]. g  e.  C
)
10 sbcel1v 3314 . 2  |-  ( [. S  /  g ]. g  e.  C  <->  S  e.  C
)
119, 10sylib 201 1  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   [.wsbc 3255   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   Fun wfun 5583   ` cfv 5589    <_ cle 9694   2c2 10681   #chash 12553   Basecbs 15199  .efcedgf 39245  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-vtx 39253  df-iedg 39254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator