Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grstructd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem grstructd 39287
 Description: If any representation of a graph with vertices and edges has a certain property , then any structure with base set and value in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices and edges ) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gropd.g Vtx iEdg
gropd.v
gropd.e
grastructd.s
grastructd.f
grastructd.d
grastructd.b
grastructd.e .ef
Assertion
Ref Expression
grstructd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem grstructd
StepHypRef Expression
1 grastructd.s . 2
2 gropd.g . 2 Vtx iEdg
3 grastructd.f . . . . 5
4 grastructd.d . . . . 5
5 funvtxdmge2val 39269 . . . . 5 Vtx
61, 3, 4, 5syl3anc 1292 . . . 4 Vtx
7 grastructd.b . . . 4
86, 7eqtrd 2505 . . 3 Vtx
9 funiedgdmge2val 39270 . . . . 5 iEdg .ef
101, 3, 4, 9syl3anc 1292 . . . 4 iEdg .ef
11 grastructd.e . . . 4 .ef
1210, 11eqtrd 2505 . . 3 iEdg
138, 12jca 541 . 2 Vtx iEdg
14 nfcv 2612 . . 3
15 nfv 1769 . . . 4 Vtx iEdg
16 nfsbc1v 3275 . . . 4
1715, 16nfim 2023 . . 3 Vtx iEdg
18 fveq2 5879 . . . . . 6 Vtx Vtx
1918eqeq1d 2473 . . . . 5 Vtx Vtx
20 fveq2 5879 . . . . . 6 iEdg iEdg
2120eqeq1d 2473 . . . . 5 iEdg iEdg
2219, 21anbi12d 725 . . . 4 Vtx iEdg Vtx iEdg
23 sbceq1a 3266 . . . 4
2422, 23imbi12d 327 . . 3 Vtx iEdg Vtx iEdg
2514, 17, 24spcgf 3115 . 2 Vtx iEdg Vtx iEdg
261, 2, 13, 25syl3c 62 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  wsbc 3255   class class class wbr 4395   cdm 4839   wfun 5583  cfv 5589   cle 9694  c2 10681  chash 12553  cbs 15199  .efcedgf 39245  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-vtx 39253  df-iedg 39254 This theorem is referenced by:  grstructeld  39289
 Copyright terms: Public domain W3C validator