Theorem grpsubval 16072

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6288	. 2 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
2		fveq2 5856	. . 3 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
3	2	oveq2d 6297	. 2 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
4		grpsubval.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 16071	. 2 |- .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) )
9		ovex 6309	. 2 |- ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6423	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   invgcminusg 16033   -gcsg 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-sbg 16038

This theorem is referenced by:  grpsubinv  16090  grpsubrcan  16098  grpinvsub  16099  grpinvval2  16100  grpsubid  16101  grpsubid1  16102  grpsubeq0  16103  grpsubadd0sub  16104  grpsubadd  16105  grpsubsub  16106  grpaddsubass  16107  grpnpcan  16109  mulgsubdir  16152  pwssub  16162  subgsubcl  16191  subgsub  16192  issubg4  16199  qussub  16240  ghmsub  16254  sylow2blem1  16619  lsmelvalm  16650  ablsub2inv  16800  ablsub4  16802  ablsubsub4  16808  mulgsubdi  16817  eqgabl  16822  gsumsub  16953  gsumsubOLD  16954  dprdfsub  17040  dprdfsubOLD  17047  ringsubdi  17224  rngsubdir  17225  abvsubtri  17463  lmodvsubval2  17544  lmodsubdir  17547  lspsntrim  17723  lidlsubclOLD  17843  cnfldsub  18425  m2detleiblem7  19107  chpscmatgsumbin  19323  tgpconcomp  20589  tsmssub  20629  tsmsxplem1  20633  isngp4  21109  ngpsubcan  21111  ngptgp  21128  deg1suble  22486  deg1sub  22487  dchr2sum  23526  ogrpsub  27685  archiabllem2c  27717  lflsub  34667  ldualvsubval  34757  lcdvsubval  37220  baerlem3lem1  37309  baerlem5alem1  37310  baerlem5amN  37318  baerlem5bmN  37319  baerlem5abmN  37320  hdmapsub  37452