Theorem grpsubval 15572

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6093	. 2 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
2		fveq2 5686	. . 3 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
3	2	oveq2d 6102	. 2 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
4		grpsubval.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 15571	. 2 |- .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) )
9		ovex 6111	. 2 |- ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6221	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   invgcminusg 15403   -gcsg 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-sbg 15538

This theorem is referenced by:  grpsubinv  15590  grpsubrcan  15598  grpinvsub  15599  grpinvval2  15600  grpsubid  15601  grpsubid1  15602  grpsubeq0  15603  grpsubadd  15604  grpsubsub  15605  grpaddsubass  15606  grpnpcan  15608  mulgsubdir  15649  pwssub  15659  subgsubcl  15683  subgsub  15684  issubg4  15691  divssub  15732  ghmsub  15746  sylow2blem1  16110  lsmelvalm  16141  ablsub2inv  16291  ablsub4  16293  ablsubsub4  16299  mulgsubdi  16308  eqgabl  16310  gsumsub  16437  gsumsubOLD  16438  dprdfsub  16501  dprdfsubOLD  16508  rngsubdi  16680  rngsubdir  16681  abvsubtri  16900  lmodvsubval2  16980  lmodsubdir  16983  lspsntrim  17159  lidlsubcl  17278  cnfldsub  17824  m2detleiblem7  18413  tgpconcomp  19663  tsmssub  19703  tsmsxplem1  19707  isngp4  20183  ngpsubcan  20185  ngptgp  20202  deg1suble  21559  deg1sub  21560  dchr2sum  22592  ogrpsub  26148  archiabllem2c  26180  lflsub  32605  ldualvsubval  32695  lcdvsubval  35156  baerlem3lem1  35245  baerlem5alem1  35246  baerlem5amN  35254  baerlem5bmN  35255  baerlem5abmN  35256  hdmapsub  35388