Theorem grpsubval 15699

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( invg ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6206	. 2 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
2		fveq2 5798	. . 3 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
3	2	oveq2d 6215	. 2 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
4		grpsubval.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
7		grpsubval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 15698	. 2 |- .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) )
9		ovex 6224	. 2 |- ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6335	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   +g cplusg 14356   invgcminusg 15529   -gcsg 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-sbg 15665

This theorem is referenced by:  grpsubinv  15717  grpsubrcan  15725  grpinvsub  15726  grpinvval2  15727  grpsubid  15728  grpsubid1  15729  grpsubeq0  15730  grpsubadd  15731  grpsubsub  15732  grpaddsubass  15733  grpnpcan  15735  mulgsubdir  15776  pwssub  15786  subgsubcl  15810  subgsub  15811  issubg4  15818  divssub  15859  ghmsub  15873  sylow2blem1  16239  lsmelvalm  16270  ablsub2inv  16420  ablsub4  16422  ablsubsub4  16428  mulgsubdi  16437  eqgabl  16439  gsumsub  16568  gsumsubOLD  16569  dprdfsub  16632  dprdfsubOLD  16639  rngsubdi  16812  rngsubdir  16813  abvsubtri  17042  lmodvsubval2  17122  lmodsubdir  17125  lspsntrim  17301  lidlsubcl  17420  cnfldsub  17968  m2detleiblem7  18564  tgpconcomp  19814  tsmssub  19854  tsmsxplem1  19858  isngp4  20334  ngpsubcan  20336  ngptgp  20353  deg1suble  21711  deg1sub  21712  dchr2sum  22744  ogrpsub  26324  archiabllem2c  26356  grpsubadd0sub  30913  cpscmatgsumbin  31315  lflsub  33035  ldualvsubval  33125  lcdvsubval  35586  baerlem3lem1  35675  baerlem5alem1  35676  baerlem5amN  35684  baerlem5bmN  35685  baerlem5abmN  35686  hdmapsub  35818