Theorem grpsubval 14803

Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubval.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubval.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubval.i	|- I = ( inv g ` G )
grpsubval.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubval	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6047	. 2 |- ( x = X -> ( x .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` y ) ) )
2		fveq2 5687	. . 3 |- ( y = Y -> ( I ` y ) = ( I ` Y ) )
3	2	oveq2d 6056	. 2 |- ( y = Y -> ( X .+ ( I ` y ) ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )
4		grpsubval.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubval.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubval.i	. . 3 |- I = ( inv g ` G )
7		grpsubval.m	. . 3 |- .- = ( -g ` G )
8	4, 5, 6, 7	grpsubfval 14802	. 2 |- .- = ( x e. B , y e. B |-> ( x .+ ( I ` y ) ) )
9		ovex 6065	. 2 |- ( X .+ ( I ` Y ) ) e. _V
10	1, 3, 8, 9	ovmpt2 6168	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( I ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643

This theorem is referenced by:  grpsubinv  14819  grpsubrcan  14825  grpinvsub  14826  grpinvval2  14827  grpsubid  14828  grpsubid1  14829  grpsubeq0  14830  grpsubadd  14831  grpsubsub  14832  grpaddsubass  14833  grpnpcan  14835  mulgsubdir  14876  pwssub  14886  subgsubcl  14910  subgsub  14911  issubg4  14916  divssub  14955  ghmsub  14969  sylow2blem1  15209  lsmelvalm  15240  ablsub2inv  15390  ablsub4  15392  ablsubsub4  15398  mulgsubdi  15407  eqgabl  15409  gsumsub  15497  dprdfsub  15534  rngsubdi  15663  rngsubdir  15664  abvsubtri  15878  lmodvsubval2  15954  lmodsubdir  15957  lspsntrim  16125  lidlsubcl  16242  cnfldsub  16684  tgpconcomp  18095  tsmssub  18131  tsmsxplem1  18135  isngp4  18611  ngpsubcan  18613  ngptgp  18630  deg1suble  19983  deg1sub  19984  dchr2sum  21010  lflsub  29550  ldualvsubval  29640  lcdvsubval  32101  baerlem3lem1  32190  baerlem5alem1  32191  baerlem5amN  32199  baerlem5bmN  32200  baerlem5abmN  32201  hdmapsub  32333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-sbg 14769