MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubval Structured version   Unicode version

Theorem grpsubval 15891
Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubval.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubval.i  |-  I  =  ( invg `  G )
grpsubval.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubval  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6289 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  y )
) )
2 fveq2 5864 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
I `  y )  =  ( I `  Y ) )
32oveq2d 6298 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( I `  y ) )  =  ( X  .+  (
I `  Y )
) )
4 grpsubval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubval.i . . 3  |-  I  =  ( invg `  G )
7 grpsubval.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
84, 5, 6, 7grpsubfval 15890 . 2  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+  (
I `  y )
) )
9 ovex 6307 . 2  |-  ( X 
.+  ( I `  Y ) )  e. 
_V
101, 3, 8, 9ovmpt2 6420 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( I `  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   invgcminusg 15721   -gcsg 15723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-sbg 15857
This theorem is referenced by:  grpsubinv  15909  grpsubrcan  15917  grpinvsub  15918  grpinvval2  15919  grpsubid  15920  grpsubid1  15921  grpsubeq0  15922  grpsubadd0sub  15923  grpsubadd  15924  grpsubsub  15925  grpaddsubass  15926  grpnpcan  15928  mulgsubdir  15970  pwssub  15980  subgsubcl  16004  subgsub  16005  issubg4  16012  divssub  16053  ghmsub  16067  sylow2blem1  16433  lsmelvalm  16464  ablsub2inv  16614  ablsub4  16616  ablsubsub4  16622  mulgsubdi  16631  eqgabl  16633  gsumsub  16762  gsumsubOLD  16763  dprdfsub  16848  dprdfsubOLD  16855  rngsubdi  17028  rngsubdir  17029  abvsubtri  17264  lmodvsubval2  17345  lmodsubdir  17348  lspsntrim  17524  lidlsubcl  17643  cnfldsub  18214  m2detleiblem7  18893  chpscmatgsumbin  19109  tgpconcomp  20343  tsmssub  20383  tsmsxplem1  20387  isngp4  20863  ngpsubcan  20865  ngptgp  20882  deg1suble  22240  deg1sub  22241  dchr2sum  23273  ogrpsub  27366  archiabllem2c  27398  lflsub  33864  ldualvsubval  33954  lcdvsubval  36415  baerlem3lem1  36504  baerlem5alem1  36505  baerlem5amN  36513  baerlem5bmN  36514  baerlem5abmN  36515  hdmapsub  36647
  Copyright terms: Public domain W3C validator