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Theorem grpsubsub4 15932
Description: Double group subtraction (subsub4 9848 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubsub4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  =  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
2 grpsubadd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpsubadd.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
42, 3grpsubcl 15919 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
543adant3r3 1207 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  e.  B )
6 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
7 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
82, 7, 3grpnpcan 15931 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  Z )  =  ( X  .-  Y ) )
91, 5, 6, 8syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  Z )  =  ( X  .-  Y ) )
109oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.-  Y )  .+  Y ) )
112, 3grpsubcl 15919 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  e.  B )
121, 5, 6, 11syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  e.  B )
13 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
142, 7grpass 15865 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
151, 12, 6, 13, 14syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  .+  Z
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
162, 7, 3grpnpcan 15931 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  .+  Y
)  =  X )
17163adant3r3 1207 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .+  Y )  =  X )
1810, 15, 173eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  X )
19 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
202, 7grpcl 15864 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .+  Y
)  e.  B )
211, 6, 13, 20syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  Y )  e.  B )
222, 7, 3grpsubadd 15927 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( Z  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  <->  ( ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  X ) )
231, 19, 21, 12, 22syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X 
.-  Y )  .-  Z )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  .+  ( Z  .+  Y
) )  =  X ) )
2418, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
) )
2524eqcomd 2475 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  .-  Z )  =  ( X  .-  ( Z  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   Grpcgrp 15723   -gcsg 15726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860
This theorem is referenced by:  grppnpcan2  15933  grpnnncan2  15936  sylow3lem1  16443  subgdisj1  16505  pjthlem2  21588  ply1divex  22272
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