Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubpropd2 Structured version   Unicode version

Theorem grpsubpropd2 16463
 Description: Strong property deduction for the group subtraction operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubpropd2.1
grpsubpropd2.2
grpsubpropd2.3
grpsubpropd2.4
Assertion
Ref Expression
grpsubpropd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grpsubpropd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6
2 simp2 998 . . . . . . 7
3 grpsubpropd2.1 . . . . . . . 8
433ad2ant1 1018 . . . . . . 7
52, 4eleqtrrd 2493 . . . . . 6
6 grpsubpropd2.3 . . . . . . . . 9
763ad2ant1 1018 . . . . . . . 8
8 simp3 999 . . . . . . . 8
9 eqid 2402 . . . . . . . . 9
10 eqid 2402 . . . . . . . . 9
119, 10grpinvcl 16417 . . . . . . . 8
127, 8, 11syl2anc 659 . . . . . . 7
1312, 4eleqtrrd 2493 . . . . . 6
14 grpsubpropd2.4 . . . . . . 7
1514oveqrspc2v 6300 . . . . . 6
161, 5, 13, 15syl12anc 1228 . . . . 5
17 grpsubpropd2.2 . . . . . . . . 9
183, 17, 14grpinvpropd 16435 . . . . . . . 8
1918fveq1d 5850 . . . . . . 7
2019oveq2d 6293 . . . . . 6
21203ad2ant1 1018 . . . . 5
2216, 21eqtrd 2443 . . . 4
2322mpt2eq3dva 6341 . . 3
243, 17eqtr3d 2445 . . . 4
25 mpt2eq12 6337 . . . 4
2624, 24, 25syl2anc 659 . . 3
2723, 26eqtrd 2443 . 2
28 eqid 2402 . . 3
29 eqid 2402 . . 3
309, 28, 10, 29grpsubfval 16414 . 2
31 eqid 2402 . . 3
32 eqid 2402 . . 3
33 eqid 2402 . . 3
34 eqid 2402 . . 3
3531, 32, 33, 34grpsubfval 16414 . 2
3627, 30, 353eqtr4g 2468 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmpt2 6279  cbs 14839   cplusg 14907  cgrp 16375  cminusg 16376  csg 16377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381 This theorem is referenced by:  ngppropd  21441
 Copyright terms: Public domain W3C validator