MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubinv Structured version   Unicode version

Theorem grpsubinv 15925
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubinv.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
grpsubinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
grpsubinv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
grpsubinv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
grpsubinv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
grpsubinv  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
2 grpsubinv.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 grpsubinv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 grpsubinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
64, 5grpinvcl 15909 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
8 grpsubinv.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 grpsubinv.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
104, 8, 5, 9grpsubval 15907 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  -> 
( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
111, 7, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
124, 5grpinvinv 15919 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
132, 3, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
1413oveq2d 6301 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  ( N `  ( N `  Y ) ) )  =  ( X  .+  Y ) )
1511, 14eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   Grpcgrp 15730   invgcminusg 15731   -gcsg 15733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873
This theorem is referenced by:  issubg4  16034  isnsg3  16049  lsmelvalm  16486  ablsub2inv  16636  ablsubsub4  16644  istgp2  20417  nmtri  20972  baerlem5amN  36730  baerlem5abmN  36732
  Copyright terms: Public domain W3C validator