MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubinv Structured version   Unicode version

Theorem grpsubinv 15982
Description: Subtraction of an inverse. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubinv.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
grpsubinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
grpsubinv.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
grpsubinv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
grpsubinv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
grpsubinv  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )

Proof of Theorem grpsubinv
StepHypRef Expression
1 grpsubinv.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
2 grpsubinv.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 grpsubinv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 grpsubinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
64, 5grpinvcl 15966 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
72, 3, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
8 grpsubinv.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 grpsubinv.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
104, 8, 5, 9grpsubval 15964 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  -> 
( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
111, 7, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  ( N `  ( N `  Y ) ) ) )
124, 5grpinvinv 15976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
132, 3, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  Y )
)  =  Y )
1413oveq2d 6294 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  ( N `  ( N `  Y ) ) )  =  ( X  .+  Y ) )
1511, 14eqtrd 2482 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.+  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   Grpcgrp 15924   invgcminusg 15925   -gcsg 15926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930
This theorem is referenced by:  issubg4  16091  isnsg3  16106  lsmelvalm  16542  ablsub2inv  16692  ablsubsub4  16700  istgp2  20460  nmtri  21015  baerlem5amN  37166  baerlem5abmN  37168
  Copyright terms: Public domain W3C validator