MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Unicode version

Theorem grpsubid 16100
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpsubid.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubid.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 16071 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
65anidms 645 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  .-  X )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
8 grpsubid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
91, 2, 8, 3grprinv 16075 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
)  =  .0.  )
107, 9eqtrd 2484 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   0gc0g 14818   Grpcgrp 16031   invgcminusg 16032   -gcsg 16033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037
This theorem is referenced by:  grppncan  16107  grpnpncan0  16112  issubg4  16198  0nsg  16224  gexdvds  16582  abladdsub4  16802  ablpncan2  16804  ablpnpcan  16808  ablnncan  16809  telgsums  17000  dprdfeq0  17040  dprdfeq0OLD  17047  lmodsubid  17548  dmatsubcl  18977  mdetuni0  19100  chpmat0d  19312  chpdmatlem2  19317  tgpconcomp  20588  tgpt0  20594  tgptsmscls  20629  deg1sublt  22488  lgsqrlem1  23592  archiabllem1a  27712  archiabllem2a  27715  archiabllem2c  27716  ornglmulle  27772  orngrmulle  27773  lfl0  34530  eqlkr  34564  lkrlsp  34567  lclkrlem2m  36986  lcfrlem1  37009  hdmapinvlem3  37390
  Copyright terms: Public domain W3C validator