MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Unicode version

Theorem grpsubid 15721
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpsubid.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubid.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 15692 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
65anidms 645 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  .-  X )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
8 grpsubid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
91, 2, 8, 3grprinv 15696 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
)  =  .0.  )
107, 9eqtrd 2492 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   0gc0g 14489   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522   -gcsg 15524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658
This theorem is referenced by:  grppncan  15727  issubg4  15811  0nsg  15837  gexdvds  16196  abladdsub4  16416  ablpncan2  16418  ablpnpcan  16422  ablnncan  16423  dprdfeq0  16626  dprdfeq0OLD  16633  lmodsubid  17120  mdetuni0  18552  tgpconcomp  19808  tgpt0  19814  tgptsmscls  19849  deg1sublt  21708  lgsqrlem1  22806  archiabllem1a  26346  archiabllem2a  26349  archiabllem2c  26350  ornglmulle  26411  orngrmulle  26412  grpnpncan0  30908  telescgsum  30958  dmatsubcl  31034  scmatsubcl  31041  cpmat0d  31291  cpdmatlem2  31296  lfl0  33019  eqlkr  33053  lkrlsp  33056  lclkrlem2m  35473  lcfrlem1  35496  hdmapinvlem3  35877
  Copyright terms: Public domain W3C validator