MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Unicode version

Theorem grpsubid 15601
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpsubid.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubid.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 15572 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
65anidms 645 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  .-  X )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
8 grpsubid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
91, 2, 8, 3grprinv 15576 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
)  =  .0.  )
107, 9eqtrd 2470 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   -gcsg 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538
This theorem is referenced by:  grppncan  15607  issubg4  15691  0nsg  15717  gexdvds  16074  abladdsub4  16294  ablpncan2  16296  ablpnpcan  16300  ablnncan  16301  dprdfeq0  16500  dprdfeq0OLD  16507  lmodsubid  16983  mdetuni0  18402  tgpconcomp  19658  tgpt0  19664  tgptsmscls  19699  deg1sublt  21557  lgsqrlem1  22655  archiabllem1a  26159  archiabllem2a  26162  archiabllem2c  26163  ornglmulle  26224  orngrmulle  26225  dmatsubcl  30800  scmatsubcl  30807  lfl0  32550  eqlkr  32584  lkrlsp  32587  lclkrlem2m  35004  lcfrlem1  35027  hdmapinvlem3  35408
  Copyright terms: Public domain W3C validator