MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Unicode version

Theorem grpsubid 15923
Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpsubid.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubid.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 15894 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
65anidms 645 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  .-  X )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
) )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 X ) ) )
8 grpsubid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
91, 2, 8, 3grprinv 15898 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  X )
)  =  .0.  )
107, 9eqtrd 2508 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .-  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724   -gcsg 15726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860
This theorem is referenced by:  grppncan  15930  grpnpncan0  15935  issubg4  16015  0nsg  16041  gexdvds  16400  abladdsub4  16620  ablpncan2  16622  ablpnpcan  16626  ablnncan  16627  telgsums  16813  dprdfeq0  16852  dprdfeq0OLD  16859  lmodsubid  17353  dmatsubcl  18767  mdetuni0  18890  chpmat0d  19102  chpdmatlem2  19107  tgpconcomp  20346  tgpt0  20352  tgptsmscls  20387  deg1sublt  22246  lgsqrlem1  23344  archiabllem1a  27397  archiabllem2a  27400  archiabllem2c  27401  ornglmulle  27458  orngrmulle  27459  lfl0  33862  eqlkr  33896  lkrlsp  33899  lclkrlem2m  36316  lcfrlem1  36339  hdmapinvlem3  36720
  Copyright terms: Public domain W3C validator