Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem grpsubfval 16720
 Description: Group subtraction (division) operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubval.b
grpsubval.p
grpsubval.i
grpsubval.m
Assertion
Ref Expression
grpsubfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem grpsubfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubval.m . . 3
2 fveq2 5870 . . . . . 6
3 grpsubval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2505 . . . . 5
5 fveq2 5870 . . . . . . 7
6 grpsubval.p . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2505 . . . . . 6
8 eqidd 2454 . . . . . 6
9 fveq2 5870 . . . . . . . 8
10 grpsubval.i . . . . . . . 8
119, 10syl6eqr 2505 . . . . . . 7
1211fveq1d 5872 . . . . . 6
137, 8, 12oveq123d 6316 . . . . 5
144, 4, 13mpt2eq123dv 6358 . . . 4
15 df-sbg 16687 . . . 4
16 fvex 5880 . . . . . 6
173, 16eqeltri 2527 . . . . 5
1817, 17mpt2ex 6875 . . . 4
1914, 15, 18fvmpt 5953 . . 3
201, 19syl5eq 2499 . 2
21 fvprc 5864 . . . 4
221, 21syl5eq 2499 . . 3
23 fvprc 5864 . . . . . 6
243, 23syl5eq 2499 . . . . 5
25 mpt2eq12 6356 . . . . 5
2624, 24, 25syl2anc 667 . . . 4
27 mpt20 6366 . . . 4
2826, 27syl6eq 2503 . . 3
2922, 28eqtr4d 2490 . 2
3020, 29pm2.61i 168 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1446   wcel 1889  cvv 3047  c0 3733  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  cbs 15133   cplusg 15202  cminusg 16682  csg 16683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-sbg 16687 This theorem is referenced by:  grpsubval  16721  grpsubf  16745  grpsubpropd  16768  grpsubpropd2  16769  tgpsubcn  21117  tngtopn  21670
 Copyright terms: Public domain W3C validator