MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubf Structured version   Unicode version

Theorem grpsubf 15596
Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubf  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )

Proof of Theorem grpsubf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvcl 15574 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
433adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
5 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5grpcl 15542 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  e.  B
)
74, 6syld3an3 1263 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  e.  B )
873expb 1188 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  B )
98ralrimivva 2803 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  e.  B
)
10 grpsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 5, 2, 10grpsubfval 15571 . . 3  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) )
1211fmpt2 6636 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  B  <->  .-  : ( B  X.  B ) --> B )
139, 12sylib 196 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   -gcsg 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538
This theorem is referenced by:  grpsubcl  15597  cnfldsub  17824  distgp  19650  indistgp  19651  clssubg  19659  tgphaus  19667  divstgplem  19671  nrmmetd  20147  isngp2  20169  isngp3  20170  ngpds  20175  ngptgp  20202  tngnm  20217  tngngp2  20218  rrxds  20877
  Copyright terms: Public domain W3C validator