MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubf Structured version   Unicode version

Theorem grpsubf 16333
Description: Functionality of group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubf  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )

Proof of Theorem grpsubf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvcl 16311 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
433adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
5 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5grpcl 16279 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  e.  B
)
74, 6syld3an3 1275 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  e.  B )
873expb 1198 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  B )
98ralrimivva 2824 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  e.  B
)
10 grpsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 5, 2, 10grpsubfval 16308 . . 3  |-  .-  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) )
1211fmpt2 6805 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  B  <->  .-  : ( B  X.  B ) --> B )
139, 12sylib 196 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   Grpcgrp 16269   invgcminusg 16270   -gcsg 16271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275
This theorem is referenced by:  grpsubcl  16334  cnfldsub  18658  distgp  20782  indistgp  20783  clssubg  20791  tgphaus  20799  qustgplem  20803  nrmmetd  21279  isngp2  21301  isngp3  21302  ngpds  21307  ngptgp  21334  tngnm  21349  tngngp2  21350  rrxds  22009
  Copyright terms: Public domain W3C validator