MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubeq0 Structured version   Unicode version

Theorem grpsubeq0 16450
Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 9883 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpsubid.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubeq0  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  =  .0.  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grpsubeq0
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubid.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 16419 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
653adant1 1017 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
76eqeq1d 2406 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  =  .0.  <->  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  .0.  ) )
8 simp1 999 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
91, 3grpinvcl 16421 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B )
1093adant2 1018 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B )
11 simp2 1000 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 grpsubid.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
131, 2, 12, 3grpinvid2 16425 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  X  <->  ( X
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) )  =  .0.  ) )
148, 10, 11, 13syl3anc 1232 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  X  <->  ( X
( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) )  =  .0.  ) )
151, 3grpinvinv 16431 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  Y
) )  =  Y )
16153adant2 1018 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  Y
) )  =  Y )
1716eqeq1d 2406 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  X  <->  Y  =  X ) )
18 eqcom 2413 . . 3  |-  ( Y  =  X  <->  X  =  Y )
1917, 18syl6bb 263 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  X  <->  X  =  Y ) )
207, 14, 193bitr2d 283 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .-  Y )  =  .0.  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   0gc0g 15056   Grpcgrp 16379   invgcminusg 16380   -gcsg 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385
This theorem is referenced by:  ghmeqker  16619  ghmf1  16621  odcong  16899  subgdisj1  17035  dprdf11  17385  dprdf11OLD  17392  kerf1hrm  17714  lmodsubeq0  17891  lvecvscan2  18080  ip2eq  18988  mdetuni0  19417  tgphaus  20909  nrmmetd  21389  ply1divmo  22830  dvdsq1p  22855  dvdsr1p  22856  ply1remlem  22857  ig1peu  22866  dchr2sum  23931  eqlkr  32130  hdmap11  34884  hdmapinvlem4  34957  idomrootle  35529  lidldomn1  38251
  Copyright terms: Public domain W3C validator