Theorem grpsubadd 15736

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 15704	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	adantl 466	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
9		simpl 457	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
10		simpr1 994	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11	1, 3	grpinvcl 15706	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12	11	3ad2antr2 1154	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13	1, 2	grpcl 15674	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
15		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
16		simpr2 995	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	1, 2	grprcan 15694	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1221	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
19	1, 2	grpass 15675	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1221	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
21		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	1, 2, 21, 3	grplinv 15707	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
23	22	3ad2antr2 1154	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 6219	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
25	1, 2, 21	grprid 15692	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
26	25	3ad2antr1 1153	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
27	20, 24, 26	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = X )
28	27	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
29	8, 18, 28	3bitr2d 281	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
30		eqcom 2463	. 2 |- ( X = ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ Y ) = X )
31	29, 30	syl6bb 261	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534   -gcsg 15536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  15741  conjghm  15900  conjnmzb  15904  sylow3lem2  16252  ablsubadd  16426  pgpfac1lem2  16708  pgpfac1lem4  16711  lspexch  17343  coe1subfv  17853  ipsubdir  18206  ipsubdi  18207  zlmodzxzsub  30928