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Theorem grpsubadd 15736
Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem grpsubadd
StepHypRef Expression
1 grpsubadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubadd.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
4 grpsubadd.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  G )
51, 2, 3, 4grpsubval 15704 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
653adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X  .+  (
( invg `  G ) `  Y
) ) )
87eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
9 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
10 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 3grpinvcl 15706 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B )
12113ad2antr2 1154 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  B )
131, 2grpcl 15674 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  e.  B
)
149, 10, 12, 13syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  e.  B )
15 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
16 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
171, 2grprcan 15694 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
189, 14, 15, 16, 17syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  =  Z ) )
191, 2grpass 15675 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) 
.+  Y )  =  ( X  .+  (
( ( invg `  G ) `  Y
)  .+  Y )
) )
209, 10, 12, 16, 19syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( invg `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( invg `  G
) `  Y )  .+  Y ) ) )
21 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
221, 2, 21, 3grplinv 15707 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 Y )  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
23223ad2antr2 1154 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Y
)  .+  Y )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( ( ( invg `  G
) `  Y )  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
251, 2, 21grprid 15692 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
26253ad2antr1 1153 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
2720, 24, 263eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( invg `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  X )
2827eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  Y
) )  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
298, 18, 283bitr2d 281 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  X  =  ( Z  .+  Y ) ) )
30 eqcom 2463 . 2  |-  ( X  =  ( Z  .+  Y )  <->  ( Z  .+  Y )  =  X )
3129, 30syl6bb 261 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Y
)  =  Z  <->  ( Z  .+  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534   -gcsg 15536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670
This theorem is referenced by:  grpsubsub4  15741  conjghm  15900  conjnmzb  15904  sylow3lem2  16252  ablsubadd  16426  pgpfac1lem2  16708  pgpfac1lem4  16711  lspexch  17343  coe1subfv  17853  ipsubdir  18206  ipsubdi  18207  zlmodzxzsub  30928
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