Theorem grpsubadd 16328

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` G )
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 16295	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
6	5	3adant3 1014	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
7	6	adantl 464	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
8	7	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
9		simpl 455	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
10		simpr1 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11	1, 3	grpinvcl 16297	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12	11	3ad2antr2 1160	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13	1, 2	grpcl 16265	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B )
15		simpr3 1002	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
16		simpr2 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
17	1, 2	grprcan 16285	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1228	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = Z ) )
19	1, 2	grpass 16266	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1228	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) )
21		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	1, 2, 21, 3	grplinv 16298	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
23	22	3ad2antr2 1160	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 6286	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( ( ( invg ` G ) ` Y ) .+ Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
25	1, 2, 21	grprid 16283	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
26	25	3ad2antr1 1159	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
27	20, 24, 26	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = X )
28	27	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ ( ( invg ` G ) ` Y ) ) .+ Y ) = ( Z .+ Y ) <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
29	8, 18, 28	3bitr2d 281	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> X = ( Z .+ Y ) ) )
30		eqcom 2463	. 2 |- ( X = ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ Y ) = X )
31	29, 30	syl6bb 261	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) = Z <-> ( Z .+ Y ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   0gc0g 14932   Grpcgrp 16255   invgcminusg 16256   -gcsg 16257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  16333  conjghm  16499  conjnmzb  16503  sylow3lem2  16850  ablsubadd  17024  pgpfac1lem2  17324  pgpfac1lem4  17327  lspexch  17973  coe1subfv  18505  ipsubdir  18853  ipsubdi  18854  zlmodzxzsub  33222