MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpss Structured version   Unicode version

Theorem grpss 16638
Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g. a ring) is also a group. This allows us to prove that a constructed potential ring  R is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 17720, on the other hand, requires that we know in advance that  R is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpss.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. }
grpss.r  |-  R  e. 
_V
grpss.s  |-  G  C_  R
grpss.f  |-  Fun  R
Assertion
Ref Expression
grpss  |-  ( G  e.  Grp  <->  R  e.  Grp )

Proof of Theorem grpss
StepHypRef Expression
1 grpss.r . . . 4  |-  R  e. 
_V
2 grpss.f . . . 4  |-  Fun  R
3 grpss.s . . . 4  |-  G  C_  R
4 baseid 15132 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
5 opex 4686 . . . . . 6  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V
65prid1 4111 . . . . 5  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }
7 grpss.g . . . . 5  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. }
86, 7eleqtrri 2516 . . . 4  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  G
91, 2, 3, 4, 8strss 15123 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
10 plusgid 15187 . . . 4  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
11 opex 4686 . . . . . 6  |-  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  _V
1211prid2 4112 . . . . 5  |-  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }
1312, 7eleqtrri 2516 . . . 4  |-  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  e.  G
141, 2, 3, 10, 13strss 15123 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  G )
159, 14grpprop 16636 . 2  |-  ( R  e.  Grp  <->  G  e.  Grp )
1615bicomi 205 1  |-  ( G  e.  Grp  <->  R  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   {cpr 4004   <.cop 4008   Fun wfun 5595   ` cfv 5601   ndxcnx 15081   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   Grpcgrp 16620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator