MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinv Structured version   Unicode version

Theorem grprinv 15969
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grprinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grprinv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2grpcl 15935 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
4 grpinv.u . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 4grpidcl 15950 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
61, 2, 4grplid 15952 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x
)  =  x )
71, 2grpass 15936 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
81, 2, 4grpinvex 15937 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  .0.  )
9 simpr 461 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 grpinv.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 15967 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
121, 2, 4, 10grplinv 15968 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
133, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12grprinvd 6509 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930
This theorem is referenced by:  grpinvid1  15970  grpinvid2  15971  grpinvinv  15977  grplmulf1o  15984  grpinvadd  15988  grpsubid  15994  mulgdirlem  16038  subginv  16080  nmzsubg  16114  eqger  16123  qusinv  16132  ghminv  16146  conjnmz  16172  gacan  16215  cntzsubg  16246  oppggrp  16264  oppginv  16266  psgnuni  16397  sylow2blem3  16515  frgpuplem  16663  ringnegl  17112  unitrinv  17199  isdrng2  17277  lmodvnegid  17423  lmodvsinv2  17554  lspsolvlem  17659  evpmodpmf1o  18501  grpvrinv  18767  mdetralt  18979  ghmcnp  20481  qustgpopn  20486  isngp4  20999  ogrpinvOLD  27529  ogrpinv0le  27530  ogrpaddltbi  27533  ogrpinv0lt  27537  ogrpinvlt  27538  archiabllem1b  27560  orngsqr  27619  ldepsprlem  32555
  Copyright terms: Public domain W3C validator