MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinv Structured version   Unicode version

Theorem grprinv 16296
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grprinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grprinv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2grpcl 16262 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
4 grpinv.u . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 4grpidcl 16277 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
61, 2, 4grplid 16279 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x
)  =  x )
71, 2grpass 16263 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
81, 2, 4grpinvex 16264 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  .0.  )
9 simpr 459 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 grpinv.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 16294 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
121, 2, 4, 10grplinv 16295 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
133, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12grprinvd 6487 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257
This theorem is referenced by:  grpinvid1  16297  grpinvid2  16298  grpinvinv  16304  grplmulf1o  16311  grpinvadd  16315  grpsubid  16321  mulgdirlem  16365  subginv  16407  nmzsubg  16441  eqger  16450  qusinv  16459  ghminv  16473  conjnmz  16499  gacan  16542  cntzsubg  16573  oppggrp  16591  oppginv  16593  psgnuni  16723  sylow2blem3  16841  frgpuplem  16989  ringnegl  17435  unitrinv  17522  isdrng2  17601  lmodvnegid  17747  lmodvsinv2  17878  lspsolvlem  17983  evpmodpmf1o  18805  grpvrinv  19065  mdetralt  19277  ghmcnp  20779  qustgpopn  20784  isngp4  21297  ogrpinvOLD  27939  ogrpinv0le  27940  ogrpaddltbi  27943  ogrpinv0lt  27947  ogrpinvlt  27948  archiabllem1b  27970  orngsqr  28029  ldepsprlem  33327
  Copyright terms: Public domain W3C validator