MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprinv Structured version   Unicode version

Theorem grprinv 15588
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grprinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grprinv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2grpcl 15554 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
4 grpinv.u . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
51, 4grpidcl 15569 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
61, 2, 4grplid 15571 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x
)  =  x )
71, 2grpass 15555 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
81, 2, 4grpinvex 15556 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  .0.  )
9 simpr 461 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 grpinv.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 15586 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
121, 2, 4, 10grplinv 15587 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
133, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12grprinvd 6305 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   0gc0g 14381   Grpcgrp 15413   invgcminusg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-0g 14383  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549
This theorem is referenced by:  grpinvid1  15589  grpinvid2  15590  grpinvinv  15596  grplmulf1o  15603  grpinvadd  15607  grpsubid  15613  mulgdirlem  15654  subginv  15691  nmzsubg  15725  eqger  15734  divsinv  15743  ghminv  15757  conjnmz  15783  gacan  15826  cntzsubg  15857  oppggrp  15875  oppginv  15877  psgnuni  16008  sylow2blem3  16124  frgpuplem  16272  rngnegl  16688  unitrinv  16773  isdrng2  16845  lmodvnegid  16990  lmodvsinv2  17121  lspsolvlem  17226  evpmodpmf1o  18029  grpvrinv  18299  mdetralt  18417  ghmcnp  19688  divstgpopn  19693  isngp4  20206  ogrpinvOLD  26181  ogrpinv0le  26182  ogrpaddltbi  26185  ogrpinv0lt  26189  ogrpinvlt  26190  archiabllem1b  26212  orngsqr  26275  ldepsprlem  31009
  Copyright terms: Public domain W3C validator