MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprid Structured version   Unicode version

Theorem grprid 16060
Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grprid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem grprid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 16041 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndrid 15921 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 471 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   0gc0g 14819   Mndcmnd 15898   Grpcgrp 16032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036
This theorem is referenced by:  grprcan  16062  grpinvid1  16077  grpinvid2  16078  grpidrcan  16082  grpsubid1  16102  grpsubadd  16105  grppncan  16108  mulgdirlem  16145  nmzsubg  16221  0nsg  16225  cntzsubg  16353  cayleylem2  16417  odbezout  16559  lsmdisj2  16679  pj1lid  16698  frgpuplem  16769  abladdsub4  16803  odadd2  16834  gex2abl  16836  ringlz  17214  isabvd  17448  lmod0vrid  17522  islmhm2  17663  mplcoe1  18106  lsmcss  18701  mdetero  19090  mdetunilem6  19097  opnsubg  20584  tgpconcompeqg  20588  snclseqg  20592  deg1add  22482  ogrpaddltbi  27687  ogrpinvlt  27692  archiabllem2a  27716  archiabllem2c  27717  lflmul  34668  cdlemn4  36800  mapdh6cN  37340  hdmap1l6c  37415  hdmapinvlem3  37525  hdmapinvlem4  37526  hdmapglem7b  37533
  Copyright terms: Public domain W3C validator