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Theorem grprcan 15890
Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grprcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables  v  u  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinvex 15872 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
543ad2antr3 1163 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
6 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
76oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( ( Y 
.+  Z )  .+  y ) )
8 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  G  e.  Grp )
91, 2grpass 15871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
108, 9sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
11 simplr1 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  e.  B )
12 simplr3 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Z  e.  B )
13 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  y  e.  B )
1410, 11, 12, 13caovassd 6457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( X  .+  ( Z  .+  y ) ) )
15 simplr2 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Y  e.  B )
1610, 15, 12, 13caovassd 6457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  y )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
177, 14, 163eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
181, 2grpcl 15870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
198, 18syl3an1 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
201, 3grpidcl 15885 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
218, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
221, 2, 3grplid 15887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
238, 22sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
241, 2, 3grpinvex 15872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
258, 24sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
2713adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  y  e.  B )
28 simprlr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  y
)  =  ( 0g
`  G ) )
3112, 30mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Z  .+  y )  =  ( 0g `  G
) )
3231oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
3331oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
3417, 32, 333eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
351, 2, 3grprid 15888 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
368, 11, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
371, 2, 3grprid 15888 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
388, 15, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3934, 36, 383eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  =  Y )
4039expr 615 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
)  ->  X  =  Y ) )
415, 40rexlimddv 2959 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  ->  X  =  Y )
)
42 oveq1 6290 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
4341, 42impbid1 203 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864
This theorem is referenced by:  grpinveu  15891  grpid  15892  grpidlcan  15911  grpinvssd  15922  grpsubrcan  15926  grpsubadd  15933  sylow1lem4  16424  rngcom  17023  rngrz  17032  lmodcom  17351  ogrpaddlt  27386  rhmunitinv  27491  isnumbasgrplem2  30673
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