Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprcan Structured version   Unicode version

Theorem grprcan 16062
 Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b
grprcan.p
Assertion
Ref Expression
grprcan

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5
2 grprcan.p . . . . 5
3 eqid 2443 . . . . 5
41, 2, 3grpinvex 16044 . . . 4
6 simprr 757 . . . . . . . 8
76oveq1d 6296 . . . . . . 7
8 simpll 753 . . . . . . . . 9
91, 2grpass 16043 . . . . . . . . 9
108, 9sylan 471 . . . . . . . 8
11 simplr1 1039 . . . . . . . 8
12 simplr3 1041 . . . . . . . 8
13 simprll 763 . . . . . . . 8
1410, 11, 12, 13caovassd 6459 . . . . . . 7
15 simplr2 1040 . . . . . . . 8
1610, 15, 12, 13caovassd 6459 . . . . . . 7
177, 14, 163eqtr3d 2492 . . . . . 6
181, 2grpcl 16042 . . . . . . . . . 10
198, 18syl3an1 1262 . . . . . . . . 9
201, 3grpidcl 16057 . . . . . . . . . 10
218, 20syl 16 . . . . . . . . 9
221, 2, 3grplid 16059 . . . . . . . . . 10
238, 22sylan 471 . . . . . . . . 9
241, 2, 3grpinvex 16044 . . . . . . . . . 10
258, 24sylan 471 . . . . . . . . 9
26 simpr 461 . . . . . . . . 9
2713adantr 465 . . . . . . . . 9
28 simprlr 764 . . . . . . . . . 10
2928adantr 465 . . . . . . . . 9
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6499 . . . . . . . 8
3112, 30mpdan 668 . . . . . . 7
3231oveq2d 6297 . . . . . 6
3331oveq2d 6297 . . . . . 6
3417, 32, 333eqtr3d 2492 . . . . 5
351, 2, 3grprid 16060 . . . . . 6
368, 11, 35syl2anc 661 . . . . 5
371, 2, 3grprid 16060 . . . . . 6
388, 15, 37syl2anc 661 . . . . 5
3934, 36, 383eqtr3d 2492 . . . 4
4039expr 615 . . 3
415, 40rexlimddv 2939 . 2
42 oveq1 6288 . 2
4341, 42impbid1 203 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wrex 2794  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14614   cplusg 14679  c0g 14819  cgrp 16032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036 This theorem is referenced by:  grpinveu  16063  grpid  16064  grpidlcan  16083  grpinvssd  16094  grpsubrcan  16098  grpsubadd  16105  sylow1lem4  16600  ringcom  17206  ringrz  17215  lmodcom  17535  ogrpaddlt  27686  rhmunitinv  27790  isnumbasgrplem2  31029
 Copyright terms: Public domain W3C validator