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Theorem grprcan 16062
Description: Right cancellation law for groups. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grprcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grprcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grprcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grprcan
Dummy variables  v  u  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprcan.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grprcan.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinvex 16044 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
543ad2antr3 1164 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
6 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
76oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( ( Y 
.+  Z )  .+  y ) )
8 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  G  e.  Grp )
91, 2grpass 16043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
108, 9sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
11 simplr1 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  e.  B )
12 simplr3 1041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Z  e.  B )
13 simprll 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  y  e.  B )
1410, 11, 12, 13caovassd 6459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( X  .+  Z
)  .+  y )  =  ( X  .+  ( Z  .+  y ) ) )
15 simplr2 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  Y  e.  B )
1610, 15, 12, 13caovassd 6459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
( Y  .+  Z
)  .+  y )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
177, 14, 163eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) ) )
181, 2grpcl 16042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
198, 18syl3an1 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( u  .+  v
)  e.  B )
201, 3grpidcl 16057 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
218, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
221, 2, 3grplid 16059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
238, 22sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
241, 2, 3grpinvex 16044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
258, 24sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  u  e.  B )  ->  E. v  e.  B  ( v  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
2713adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  y  e.  B )
28 simprlr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  (
y  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
3019, 21, 23, 10, 25, 26, 27, 29grprinvd 6499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  /\  ( ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  Z )  =  ( 0g `  G
) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) ) )  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .+  y
)  =  ( 0g
`  G ) )
3112, 30mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Z  .+  y )  =  ( 0g `  G
) )
3231oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
3331oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( Z  .+  y ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
3417, 32, 333eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( Y  .+  ( 0g `  G ) ) )
351, 2, 3grprid 16060 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
368, 11, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
371, 2, 3grprid 16060 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
388, 15, 37syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  ( Y  .+  ( 0g `  G ) )  =  Y )
3934, 36, 383eqtr3d 2492 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
( y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )  /\  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) ) )  ->  X  =  Y )
4039expr 615 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  Z
)  =  ( 0g
`  G ) ) )  ->  ( ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
)  ->  X  =  Y ) )
415, 40rexlimddv 2939 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  ->  X  =  Y )
)
42 oveq1 6288 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z
) )
4341, 42impbid1 203 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Z
)  =  ( Y 
.+  Z )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   0gc0g 14819   Grpcgrp 16032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036
This theorem is referenced by:  grpinveu  16063  grpid  16064  grpidlcan  16083  grpinvssd  16094  grpsubrcan  16098  grpsubadd  16105  sylow1lem4  16600  ringcom  17206  ringrz  17215  lmodcom  17535  ogrpaddlt  27686  rhmunitinv  27790  isnumbasgrplem2  31029
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