Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grppropd Structured version   Unicode version

Theorem grppropd 16194
 Description: If two structures have the same group components (properties), one is a group iff the other one is. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grppropd.1
grppropd.2
grppropd.3
Assertion
Ref Expression
grppropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grppropd
StepHypRef Expression
1 grppropd.1 . . . 4
2 grppropd.2 . . . 4
3 grppropd.3 . . . 4
41, 2, 3mndpropd 16072 . . 3
51, 2, 3grpidpropd 16014 . . . . . . . . 9
65adantr 465 . . . . . . . 8
73, 6eqeq12d 2479 . . . . . . 7
87anass1rs 807 . . . . . 6
98rexbidva 2965 . . . . 5
109ralbidva 2893 . . . 4
111rexeqdv 3061 . . . . 5
121, 11raleqbidv 3068 . . . 4
132rexeqdv 3061 . . . . 5
142, 13raleqbidv 3068 . . . 4
1510, 12, 143bitr3d 283 . . 3
164, 15anbi12d 710 . 2
17 eqid 2457 . . 3
18 eqid 2457 . . 3
19 eqid 2457 . . 3
2017, 18, 19isgrp 16187 . 2
21 eqid 2457 . . 3
22 eqid 2457 . . 3
23 eqid 2457 . . 3
2421, 22, 23isgrp 16187 . 2
2516, 20, 243bitr4g 288 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   cplusg 14711  c0g 14856  cmnd 16045  cgrp 16179 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183 This theorem is referenced by:  grpprop  16195  ghmpropd  16430  oppggrpb  16519  ablpropd  16934  ringpropd  17356  lmodprop2d  17698  sralmod  17959  nmpropd2  21240  ngppropd  21276  tngngp2  21291  zhmnrg  28101
 Copyright terms: Public domain W3C validator