MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grppncan Structured version   Unicode version

Theorem grppncan 15607
Description: Cancellation law for subtraction (pncan 9608 analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grppncan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  X )

Proof of Theorem grppncan
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 990 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpsubadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpsubadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 grpsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
74, 5, 6grpaddsubass 15606 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  Y )  =  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
81, 2, 3, 3, 7syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  ( X 
.+  ( Y  .-  Y ) ) )
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
104, 9, 6grpsubid 15601 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  Y
)  =  ( 0g
`  G ) )
1110oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
12113adant2 1007 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( X  .+  ( 0g `  G ) ) )
134, 5, 9grprid 15560 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
14133adant3 1008 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( 0g `  G ) )  =  X )
158, 12, 143eqtrd 2474 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Y
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538
This theorem is referenced by:  grpnpcan  15608  grppnpcan2  15610  ssnmz  15714  conjnmz  15771  cntrsubgnsg  15849  sylow2blem3  16112  sylow3lem2  16118  subgdisj1  16179  pgpfac1lem3  16566  lmodvpncan  16976  opnsubg  19653  lfl0  32550
  Copyright terms: Public domain W3C validator