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Theorem grpopnpcan2 21794
Description: Cancellation law for mixed addition and group division. (pnpcan2 9297 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpdivf.1  |-  X  =  ran  G
grpdivf.3  |-  D  =  (  /g  `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpopnpcan2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem grpopnpcan2
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  G  e.  GrpOp
)
2 grpdivf.1 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
32grpocl 21741 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
433adant3r2 1163 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A G C )  e.  X
)
52grpocl 21741 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B G C )  e.  X )
653adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B G C )  e.  X
)
7 eqid 2404 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
8 grpdivf.3 . . . 4  |-  D  =  (  /g  `  G
)
92, 7, 8grpodivval 21784 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G C )  e.  X  /\  ( B G C )  e.  X )  ->  (
( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G
) `  ( B G C ) ) ) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G ) `
 ( B G C ) ) ) )
112, 7grpoinvop 21782 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  ( B G C ) )  =  ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
12113adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  ( B G C ) )  =  ( ( ( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) ) )
1312oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( inv `  G
) `  ( B G C ) ) )  =  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
14 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
152, 14, 7grporinv 21770 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( inv `  G ) `  C
) )  =  (GId
`  G ) )
16153adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( inv `  G ) `  C
) )  =  (GId
`  G ) )
1716oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( (GId `  G ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
18 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  G  e.  GrpOp )
19 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  X )
202, 7grpoinvcl 21767 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X )
21203adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X )
222, 7grpoinvcl 21767 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
23223adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )
242grpoass 21744 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( C  e.  X  /\  ( ( inv `  G
) `  C )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X ) )  -> 
( ( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
2518, 19, 21, 23, 24syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( C G ( ( inv `  G
) `  C )
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  =  ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )
262, 14grpolid 21760 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
2722, 26syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
28273adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
2917, 25, 283eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( C G ( ( ( inv `  G ) `
 C ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
30293adant3r1 1162 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( C G ( ( ( inv `  G ) `
 C ) G ( ( inv `  G
) `  B )
) )  =  ( ( inv `  G
) `  B )
)
3130oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) )  =  ( A G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
32 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
33 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
34203ad2antr3 1124 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  C )  e.  X
)
35223ad2antr2 1123 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( inv `  G ) `  B )  e.  X
)
362grpocl 21741 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  C )  e.  X  /\  (
( inv `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  e.  X
)
371, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( (
( inv `  G
) `  C ) G ( ( inv `  G ) `  B
) )  e.  X
)
382grpoass 21744 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) )  e.  X ) )  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) ) )
391, 32, 33, 37, 38syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A G ( C G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) ) ) )
402, 7, 8grpodivval 21784 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  =  ( A G ( ( inv `  G
) `  B )
) )
41403adant3r3 1164 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D B )  =  ( A G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )
4231, 39, 413eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) G ( ( ( inv `  G ) `  C
) G ( ( inv `  G ) `
 B ) ) )  =  ( A D B ) )
4310, 13, 423eqtrd 2440 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A G C ) D ( B G C ) )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727  GIdcgi 21728   invcgn 21729    /g cgs 21730
This theorem is referenced by:  grponnncan2  21795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735
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