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Theorem grpokerinj 32176
Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpkerinj.1  |-  X  =  ran  G
grpkerinj.2  |-  W  =  (GId `  G )
grpkerinj.3  |-  Y  =  ran  H
grpkerinj.4  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
grpokerinj  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )

Proof of Theorem grpokerinj
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpkerinj.2 . . . . . . . . 9  |-  W  =  (GId `  G )
2 grpkerinj.4 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  H )
31, 2ghomidOLD 26086 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  W )  =  U )
43sneqd 3979 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  { U }
)
5 grpkerinj.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
6 grpkerinj.3 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ran  H
75, 6ghomf 32173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X --> Y )
8 ffn 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
97, 8syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F  Fn  X
)
105, 1grpoidcl 25938 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  W  e.  X )
11103ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  W  e.  X
)
12 fnsnfv 5923 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  X  /\  W  e.  X )  ->  { ( F `  W ) }  =  ( F " { W } ) )
139, 11, 12syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { ( F `
 W ) }  =  ( F " { W } ) )
144, 13eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { U }  =  ( F " { W } ) )
1514imaeq2d 5167 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F " { W } ) ) )
1615adantl 468 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  ( `' F " ( F
" { W }
) ) )
1710snssd 4116 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  { W }  C_  X )
18173ad2ant1 1028 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  { W }  C_  X )
19 f1imacnv 5828 . . . . 5  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  { W }  C_  X )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2018, 19sylan2 477 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " ( F
" { W }
) )  =  { W } )
2116, 20eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
) )  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } )
2221expcom 437 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  ->  ( `' F " { U } )  =  { W } ) )
237adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X --> Y )
24 simpl2 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  H  e.  GrpOp )
257ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
2625adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Y )
277ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  Y )
2827adantrl 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
29 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  (  /g  `  H )  =  (  /g  `  H )
306, 2, 29grpoeqdivid 32172 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  ( F `  x )  e.  Y  /\  ( F `  y )  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
3124, 26, 28, 30syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( ( F `  x ) (  /g  `  H ) ( F `
 y ) )  =  U ) )
3231adantlr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x )
(  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
33 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
345, 33, 29ghomdiv 32175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  =  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) ) )
3534adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  =  ( ( F `  x ) (  /g  `  H
) ( F `  y ) ) )
3635eqeq1d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  <->  ( ( F `
 x ) (  /g  `  H ) ( F `  y
) )  =  U ) )
37 fvex 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  (GId `  H )  e.  _V
382, 37eqeltri 2524 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
3938snid 3995 . . . . . . . . 9  |-  U  e. 
{ U }
40 eleq1 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  U  e.  { U }
) )
4139, 40mpbiri 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( x (  /g  `  G
) y ) )  =  U  ->  ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U } )
42 ffun 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
437, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  Fun  F )
4443adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  Fun  F )
455, 33grpodivcl 25968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x (  /g  `  G
) y )  e.  X )
46453expb 1208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  X
)
47463ad2antl1 1169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  X )
48 fdm 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  dom  F  =  X )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  dom  F  =  X )
5147, 50eleqtrrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x (  /g  `  G ) y )  e.  dom  F )
52 fvimacnv 5995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
dom  F )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
5344, 51, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( x (  /g  `  G ) y ) )  e.  { U } 
<->  ( x (  /g  `  G ) y )  e.  ( `' F " { U } ) ) )
54 eleq2 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e.  ( `' F " { U } )  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
5553, 54sylan9bb 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  ->  (
( F `  (
x (  /g  `  G
) y ) )  e.  { U }  <->  ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W } ) )
5655an32s 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  e.  { W } ) )
57 elsni 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  ( x (  /g  `  G
) y )  =  W )
585, 1, 33grpoeqdivid 32172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  y  <->  ( x
(  /g  `  G ) y )  =  W ) )
5958biimprd 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
60593expb 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
61603ad2antl1 1169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  =  W  ->  x  =  y ) )
6257, 61syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x (  /g  `  G ) y )  e.  { W }  ->  x  =  y ) )
6362adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x (  /g  `  G
) y )  e. 
{ W }  ->  x  =  y ) )
6456, 63sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  e. 
{ U }  ->  x  =  y ) )
6541, 64syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  ( x
(  /g  `  G ) y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6636, 65sylbird 239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
( F `  x
) (  /g  `  H
) ( F `  y ) )  =  U  ->  x  =  y ) )
6732, 66sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  /\  ( `' F " { U } )  =  { W } )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
6867ralrimivva 2808 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
69 dff13 6157 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
7023, 68, 69sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( `' F " { U }
)  =  { W } )  ->  F : X -1-1-> Y )
7170ex 436 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( `' F " { U } )  =  { W }  ->  F : X -1-1-> Y ) )
7222, 71impbid 194 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( `' F " { U } )  =  { W }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   {csn 3967   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   GrpOpcgr 25907  GIdcgi 25908    /g cgs 25910   GrpOpHom cghomOLD 26078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ghomOLD 26079
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