Theorem grpokerinj 31916

Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpkerinj.1	|- X = ran G
grpkerinj.2	|- W = (GId ` G )
grpkerinj.3	|- Y = ran H
grpkerinj.4	|- U = (GId ` H )

Assertion

Ref	Expression
grpokerinj	|- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Proof of Theorem grpokerinj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpkerinj.2	. . . . . . . . 9 |- W = (GId ` G )
2		grpkerinj.4	. . . . . . . . 9 |- U = (GId ` H )
3	1, 2	ghomidOLD 25964	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F ` W ) = U )
4	3	sneqd 4005	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = { U } )
5		grpkerinj.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
6		grpkerinj.3	. . . . . . . . . 10 |- Y = ran H
7	5, 6	ghomf 31913	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F : X --> Y )
8		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F Fn X )
10	5, 1	grpoidcl 25816	. . . . . . . . 9 |- ( G e. GrpOp -> W e. X )
11	10	3ad2ant1 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> W e. X )
12		fnsnfv 5932	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn X /\ W e. X ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
14	4, 13	eqtr3d 2463	. . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { U } = ( F " { W } ) )
15	14	imaeq2d 5179	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
16	15	adantl 467	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
17	10	snssd 4139	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> { W } C_ X )
18	17	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { W } C_ X )
19		f1imacnv 5838	. . . . 5 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ { W } C_ X ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
20	18, 19	sylan2 476	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
21	16, 20	eqtrd 2461	. . 3 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = { W } )
22	21	expcom 436	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y -> ( `' F " { U } ) = { W } ) )
23	7	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X --> Y )
24		simpl2 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> H e. GrpOp )
25	7	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. Y )
26	25	adantrr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` x ) e. Y )
27	7	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. Y )
28	27	adantrl 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
29		eqid 2420	. . . . . . . . 9 |- ( /g ` H ) = ( /g ` H )
30	6, 2, 29	grpoeqdivid 31912	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. GrpOp /\ ( F ` x ) e. Y /\ ( F ` y ) e. Y ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
31	24, 26, 28, 30	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
32	31	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
33		eqid 2420	. . . . . . . . . 10 |- ( /g ` G ) = ( /g ` G )
34	5, 33, 29	ghomdiv 31915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
35	34	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
36	35	eqeq1d 2422	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
37		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- (GId ` H ) e. _V
38	2, 37	eqeltri 2504	. . . . . . . . . 10 |- U e. _V
39	38	snid 4021	. . . . . . . . 9 |- U e. { U }
40		eleq1 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> U e. { U } ) )
41	39, 40	mpbiri 236	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } )
42		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
43	7, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> Fun F )
44	43	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> Fun F )
45	5, 33	grpodivcl 25846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
46	45	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
47	46	3ad2antl1 1167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
48		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> dom F = X )
50	49	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> dom F = X )
51	47, 50	eleqtrrd 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F )
52		fvimacnv 6003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
53	44, 51, 52	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
54		eleq2 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { U } ) = { W } -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
55	53, 54	sylan9bb 704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
56	55	an32s 811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
57		elsni 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> ( x ( /g ` G ) y ) = W )
58	5, 1, 33	grpoeqdivid 31912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x = y <-> ( x ( /g ` G ) y ) = W ) )
59	58	biimprd 226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
60	59	3expb 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
61	60	3ad2antl1 1167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
62	57, 61	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
63	62	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
64	56, 63	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } -> x = y ) )
65	41, 64	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> x = y ) )
66	36, 65	sylbird 238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U -> x = y ) )
67	32, 66	sylbid 218	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
68	67	ralrimivva 2844	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69		dff13 6165	. . . 4 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
70	23, 68, 69	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X -1-1-> Y )
71	70	ex 435	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( ( `' F " { U } ) = { W } -> F : X -1-1-> Y ) )
72	22, 71	impbid 193	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   A.wral 2773   _Vcvv 3078   C_ wss 3433   {csn 3993   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5586   Fn wfn 5587   -->wf 5588   -1-1->wf1 5589   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   GrpOpcgr 25785  GIdcgi 25786   /g cgs 25788   GrpOpHom cghomOLD 25956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-grpo 25790  df-gid 25791  df-ginv 25792  df-gdiv 25793  df-ghomOLD 25957

This theorem is referenced by:  rngokerinj  31947