Theorem grpokerinj 32176

Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpkerinj.1	|- X = ran G
grpkerinj.2	|- W = (GId ` G )
grpkerinj.3	|- Y = ran H
grpkerinj.4	|- U = (GId ` H )

Assertion

Ref	Expression
grpokerinj	|- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Proof of Theorem grpokerinj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpkerinj.2	. . . . . . . . 9 |- W = (GId ` G )
2		grpkerinj.4	. . . . . . . . 9 |- U = (GId ` H )
3	1, 2	ghomidOLD 26086	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F ` W ) = U )
4	3	sneqd 3979	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = { U } )
5		grpkerinj.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
6		grpkerinj.3	. . . . . . . . . 10 |- Y = ran H
7	5, 6	ghomf 32173	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F : X --> Y )
8		ffn 5726	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F Fn X )
10	5, 1	grpoidcl 25938	. . . . . . . . 9 |- ( G e. GrpOp -> W e. X )
11	10	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> W e. X )
12		fnsnfv 5923	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn X /\ W e. X ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
14	4, 13	eqtr3d 2486	. . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { U } = ( F " { W } ) )
15	14	imaeq2d 5167	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
16	15	adantl 468	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
17	10	snssd 4116	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> { W } C_ X )
18	17	3ad2ant1 1028	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { W } C_ X )
19		f1imacnv 5828	. . . . 5 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ { W } C_ X ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
20	18, 19	sylan2 477	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
21	16, 20	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = { W } )
22	21	expcom 437	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y -> ( `' F " { U } ) = { W } ) )
23	7	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X --> Y )
24		simpl2 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> H e. GrpOp )
25	7	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. Y )
26	25	adantrr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` x ) e. Y )
27	7	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. Y )
28	27	adantrl 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
29		eqid 2450	. . . . . . . . 9 |- ( /g ` H ) = ( /g ` H )
30	6, 2, 29	grpoeqdivid 32172	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. GrpOp /\ ( F ` x ) e. Y /\ ( F ` y ) e. Y ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
31	24, 26, 28, 30	syl3anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
32	31	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
33		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( /g ` G ) = ( /g ` G )
34	5, 33, 29	ghomdiv 32175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
35	34	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
36	35	eqeq1d 2452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
37		fvex 5873	. . . . . . . . . . 11 |- (GId ` H ) e. _V
38	2, 37	eqeltri 2524	. . . . . . . . . 10 |- U e. _V
39	38	snid 3995	. . . . . . . . 9 |- U e. { U }
40		eleq1 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> U e. { U } ) )
41	39, 40	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } )
42		ffun 5729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
43	7, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> Fun F )
44	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> Fun F )
45	5, 33	grpodivcl 25968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
46	45	3expb 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
47	46	3ad2antl1 1169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
48		fdm 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> dom F = X )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> dom F = X )
51	47, 50	eleqtrrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F )
52		fvimacnv 5995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
53	44, 51, 52	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
54		eleq2 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { U } ) = { W } -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
55	53, 54	sylan9bb 705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
56	55	an32s 812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
57		elsni 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> ( x ( /g ` G ) y ) = W )
58	5, 1, 33	grpoeqdivid 32172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x = y <-> ( x ( /g ` G ) y ) = W ) )
59	58	biimprd 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
60	59	3expb 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
61	60	3ad2antl1 1169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
62	57, 61	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
63	62	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
64	56, 63	sylbid 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } -> x = y ) )
65	41, 64	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> x = y ) )
66	36, 65	sylbird 239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U -> x = y ) )
67	32, 66	sylbid 219	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
68	67	ralrimivva 2808	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69		dff13 6157	. . . 4 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
70	23, 68, 69	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X -1-1-> Y )
71	70	ex 436	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( ( `' F " { U } ) = { W } -> F : X -1-1-> Y ) )
72	22, 71	impbid 194	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   {csn 3967   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   GrpOpcgr 25907  GIdcgi 25908   /g cgs 25910   GrpOpHom cghomOLD 26078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ghomOLD 26079

This theorem is referenced by:  rngokerinj  32207