Theorem grpokerinj 28755

Description: A group homomorphism is injective if and only if its kernel is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpkerinj.1	|- X = ran G
grpkerinj.2	|- W = (GId ` G )
grpkerinj.3	|- Y = ran H
grpkerinj.4	|- U = (GId ` H )

Assertion

Ref	Expression
grpokerinj	|- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Proof of Theorem grpokerinj

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpkerinj.2	. . . . . . . . 9 |- W = (GId ` G )
2		grpkerinj.4	. . . . . . . . 9 |- U = (GId ` H )
3	1, 2	ghomid 23857	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F ` W ) = U )
4	3	sneqd 3894	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = { U } )
5		grpkerinj.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
6		grpkerinj.3	. . . . . . . . . 10 |- Y = ran H
7	5, 6	ghomf 28752	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F : X --> Y )
8		ffn 5564	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> F Fn X )
10	5, 1	grpoidcl 23709	. . . . . . . . 9 |- ( G e. GrpOp -> W e. X )
11	10	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> W e. X )
12		fnsnfv 5756	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn X /\ W e. X ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { ( F ` W ) } = ( F " { W } ) )
14	4, 13	eqtr3d 2477	. . . . . 6 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { U } = ( F " { W } ) )
15	14	imaeq2d 5174	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
16	15	adantl 466	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = ( `' F " ( F " { W } ) ) )
17	10	snssd 4023	. . . . . 6 |- ( G e. GrpOp -> { W } C_ X )
18	17	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> { W } C_ X )
19		f1imacnv 5662	. . . . 5 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ { W } C_ X ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
20	18, 19	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " ( F " { W } ) ) = { W } )
21	16, 20	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) ) -> ( `' F " { U } ) = { W } )
22	21	expcom 435	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y -> ( `' F " { U } ) = { W } ) )
23	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X --> Y )
24		simpl2 992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> H e. GrpOp )
25	7	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. Y )
26	25	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` x ) e. Y )
27	7	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. Y )
28	27	adantrl 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
29		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( /g ` H ) = ( /g ` H )
30	6, 2, 29	grpoeqdivid 28751	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. GrpOp /\ ( F ` x ) e. Y /\ ( F ` y ) e. Y ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
31	24, 26, 28, 30	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
32	31	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
33		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( /g ` G ) = ( /g ` G )
34	5, 33, 29	ghomdiv 28754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
35	34	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) )
36	35	eqeq1d 2451	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U <-> ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U ) )
37		fvex 5706	. . . . . . . . . . 11 |- (GId ` H ) e. _V
38	2, 37	eqeltri 2513	. . . . . . . . . 10 |- U e. _V
39	38	snid 3910	. . . . . . . . 9 |- U e. { U }
40		eleq1 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> U e. { U } ) )
41	39, 40	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } )
42		ffun 5566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
43	7, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> Fun F )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> Fun F )
45	5, 33	grpodivcl 23739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
46	45	3expb 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
47	46	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. X )
48		fdm 5568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
49	7, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> dom F = X )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> dom F = X )
51	47, 50	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F )
52		fvimacnv 5823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ ( x ( /g ` G ) y ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
53	44, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) ) )
54		eleq2 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { U } ) = { W } -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. ( `' F " { U } ) <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
55	53, 54	sylan9bb 699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
56	55	an32s 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } <-> ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } ) )
57		elsni 3907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> ( x ( /g ` G ) y ) = W )
58	5, 1, 33	grpoeqdivid 28751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x = y <-> ( x ( /g ` G ) y ) = W ) )
59	58	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. GrpOp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
60	59	3expb 1188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
61	60	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) = W -> x = y ) )
62	57, 61	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
63	62	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x ( /g ` G ) y ) e. { W } -> x = y ) )
64	56, 63	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) e. { U } -> x = y ) )
65	41, 64	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` ( x ( /g ` G ) y ) ) = U -> x = y ) )
66	36, 65	sylbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( /g ` H ) ( F ` y ) ) = U -> x = y ) )
67	32, 66	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
68	67	ralrimivva 2813	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
69		dff13 5976	. . . 4 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
70	23, 68, 69	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) /\ ( `' F " { U } ) = { W } ) -> F : X -1-1-> Y )
71	70	ex 434	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( ( `' F " { U } ) = { W } -> F : X -1-1-> Y ) )
72	22, 71	impbid 191	1 |- ( ( G e. GrpOp /\ H e. GrpOp /\ F e. ( G GrpOpHom H ) ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> ( `' F " { U } ) = { W } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   {csn 3882   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417   Fn wfn 5418   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   GrpOpcgr 23678  GIdcgi 23679   /g cgs 23681   GrpOpHom cghom 23849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ghom 23850

This theorem is referenced by:  rngokerinj  28786