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Theorem grpoidinvlem3 21747
Description: Lemma for grpoidinv 21749. (Contributed by NM, 11-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
grpidinvlem3.2  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
grpidinvlem3.3  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem3  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, G, y, z    x, X, y, z    y, U, x, z    ph, y    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( x, z)

Proof of Theorem grpoidinvlem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidinvlem3.3 . . . . . 6  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U )
2 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z G x )  =  ( y G x ) )
32eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( y G x )  =  U ) )
43cbvrexv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
54ralbii 2690 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
61, 5bitri 241 . . . . 5  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  (
y G x )  =  U )
7 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
y G x )  =  ( y G A ) )
87eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( y G A )  =  U ) )
98rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U ) )
109rspccva 3011 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  X  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
116, 10sylanb 459 . . . 4  |-  ( ( ps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1211adantll 695 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
1312adantll 695 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G A )  =  U )
14 grpfo.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ran  G
1514grpocl 21741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
16153expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( A G y )  e.  X )
1716adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
1817adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( A G y )  e.  X )
19 grpidinvlem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2019biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2120ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )
23 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( U G x )  =  ( U G ( A G y ) ) )
24 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  x  =  ( A G y ) )
2523, 24eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )
2625rspcva 3010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( U G x )  =  x )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2718, 22, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
29 pm3.22 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  G  e.  GrpOp
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3029an31s 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X ) ) )
3130adantllr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3231adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  A  e.  X )
) )
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) ) )
34 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( U G x )  =  ( U G y ) )
35 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
3634, 35eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( U G x )  =  x  <->  ( U G y )  =  y ) )
3736rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  X  ( U G x )  =  x  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3819, 37sylanb 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
3938adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  y  e.  X
)  ->  ( U G y )  =  y )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4140adantlll 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  ( U G y )  =  y )
4241anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )
4314grpoidinvlem2 21746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G y )  =  y  /\  ( y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
4433, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) )
45153expb 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( A G y )  e.  X )
4645ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( A G y )  e.  X )
47 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z G x )  =  ( w G x ) )
4847eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z G x )  =  U  <->  ( w G x )  =  U ) )
4948cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
5049ralbii 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  X  E. z  e.  X  (
z G x )  =  U  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  ( w G x )  =  U )
511, 50bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps  <->  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )
52 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
w G x )  =  ( w G ( A G y ) ) )
5352eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  (
( w G x )  =  U  <->  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5453rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( A G y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w G x )  =  U  <->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U ) )
5554rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  A. x  e.  X  E. w  e.  X  (
w G x )  =  U )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
5651, 55sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U )
57 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5857biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  ( A G y )  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
5958an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  /\  w  e.  X
)  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A G y )  e.  X )  ->  (
w  e.  X  -> 
( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6145, 60syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6261ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) ) )
6362imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) ) )
6414grpoidinvlem1 21745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( w  e.  X  /\  ( A G y )  e.  X ) )  /\  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6563, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )  /\  w  e.  X
)  /\  ( (
w G ( A G y ) )  =  U  /\  (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y ) ) )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U )
6665exp43 596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( w  e.  X  ->  ( ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) )
6766rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( E. w  e.  X  ( w G ( A G y ) )  =  U  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6856, 67syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ( ( A G y )  e.  X  /\  ps )  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
6946, 68mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ( A  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )  -> 
( ps  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7069exp32 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ps  ->  ( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7170com34 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  ->  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) ) ) )
7271imp32 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  (
( A  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) ) )
7372impl 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7473adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( ( ( A G y ) G ( A G y ) )  =  ( A G y )  ->  ( U G ( A G y ) )  =  U ) )
7544, 74mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( U G ( A G y ) )  =  U )
7628, 75eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
y G A )  =  U )  -> 
( A G y )  =  U )
7776ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( A G y )  =  U ) )
7877ancld 537 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  U  e.  X )  /\  ( ph  /\  ps ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  X )  ->  (
( y G A )  =  U  -> 
( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
7978reximdva 2778 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. y  e.  X  ( y G A )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) ) )
8013, 79mpd 15 1  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  U  e.  X
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G A )  =  U  /\  ( A G y )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   ran crn 4838  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727
This theorem is referenced by:  grpoidinv  21749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fo 5419  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732
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