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Theorem grpoidinvlem2 25634
Description: Lemma for grpoidinv 25637. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )

Proof of Theorem grpoidinvlem2
StepHypRef Expression
1 simprr 760 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2 simprl 758 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  Y  e.  X )
3 grpfo.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
43grpocl 25629 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
543com23 1205 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
653expb 1200 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A G Y )  e.  X
)
71, 2, 63jca 1179 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )
83grpoass 25632 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
97, 8syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
11 oveq1 6287 . . . . . . 7  |-  ( ( Y G A )  =  U  ->  (
( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( ( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( U G Y )  =  Y )
1412, 13eqtr2d 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  ->  Y  =  ( ( Y G A ) G Y ) )
15 id 23 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
16153anidm13 1290 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
173grpoass 25632 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1816, 17sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1914, 18sylan9eqr 2467 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  Y  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
2019eqcomd 2412 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( Y G ( A G Y ) )  =  Y )
2120oveq2d 6296 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) )  =  ( A G Y ) )
2210, 21eqtrd 2445 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ran crn 4826  (class class class)co 6280   GrpOpcgr 25615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fo 5577  df-fv 5579  df-ov 6283  df-grpo 25620
This theorem is referenced by:  grpoidinvlem3  25635
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