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Theorem grpoidinvlem2 23711
Description: Lemma for grpoidinv 23714. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )

Proof of Theorem grpoidinvlem2
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  Y  e.  X )
3 grpfo.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
43grpocl 23706 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
543com23 1193 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
653expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A G Y )  e.  X
)
71, 2, 63jca 1168 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )
83grpoass 23709 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
97, 8syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
11 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( ( Y G A )  =  U  ->  (
( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( ( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( U G Y )  =  Y )
1412, 13eqtr2d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  ->  Y  =  ( ( Y G A ) G Y ) )
15 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
16153anidm13 1276 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
173grpoass 23709 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1816, 17sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1914, 18sylan9eqr 2497 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  Y  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
2019eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( Y G ( A G Y ) )  =  Y )
2120oveq2d 6126 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) )  =  ( A G Y ) )
2210, 21eqtrd 2475 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ran crn 4860  (class class class)co 6110   GrpOpcgr 23692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-fo 5443  df-fv 5445  df-ov 6113  df-grpo 23697
This theorem is referenced by:  grpoidinvlem3  23712
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