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Theorem grpoidinvlem2 21746
Description: Lemma for grpoidinv 21749. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )

Proof of Theorem grpoidinvlem2
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  Y  e.  X )
3 grpfo.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
43grpocl 21741 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
543com23 1159 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A G Y )  e.  X )
653expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A G Y )  e.  X
)
71, 2, 63jca 1134 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )
83grpoass 21744 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  ( A G Y )  e.  X ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
97, 8syldan 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
109adantr 452 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) ) )
11 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( Y G A )  =  U  ->  (
( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
1211adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( ( Y G A ) G Y )  =  ( U G Y ) )
13 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  -> 
( U G Y )  =  Y )
1412, 13eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U )  ->  Y  =  ( ( Y G A ) G Y ) )
15 id 20 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
16153anidm13 1242 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
) )
173grpoass 21744 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1816, 17sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( Y G A ) G Y )  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
1914, 18sylan9eqr 2458 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  Y  =  ( Y G ( A G Y ) ) )
2019eqcomd 2409 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( Y G ( A G Y ) )  =  Y )
2120oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( A G ( Y G ( A G Y ) ) )  =  ( A G Y ) )
2210, 21eqtrd 2436 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( Y  e.  X  /\  A  e.  X
) )  /\  (
( U G Y )  =  Y  /\  ( Y G A )  =  U ) )  ->  ( ( A G Y ) G ( A G Y ) )  =  ( A G Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ran crn 4838  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727
This theorem is referenced by:  grpoidinvlem3  21747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fo 5419  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732
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