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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > grpoidinv2 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A group's properties using the explicit identity element. (Contributed by NM, 5-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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grpoidval.1 |
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grpoidval.2 |
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Ref | Expression |
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grpoidinv2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | grpoidval.1 |
. . . . . . 7
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2 | grpoidval.2 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | grpoidval 25944 |
. . . . . 6
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4 | 1 | grpoideu 25937 |
. . . . . . 7
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5 | riotacl2 6265 |
. . . . . . 7
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6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . 6
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7 | 3, 6 | eqeltrd 2529 |
. . . . 5
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8 | simpll 760 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 8 | ralimi 2781 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | rgenw 2749 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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12 | 1 | grpoidinv 25936 |
. . . . . . . 8
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13 | 11, 12, 4 | 3jca 1188 |
. . . . . . 7
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14 | reupick2 3729 |
. . . . . . 7
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15 | 13, 14 | sylan 474 |
. . . . . 6
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16 | 15 | rabbidva 3035 |
. . . . 5
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17 | 7, 16 | eleqtrd 2531 |
. . . 4
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18 | oveq1 6297 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . 8
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20 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | eqeq1d 2453 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21 | anbi12d 717 |
. . . . . . 7
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23 | eqeq2 2462 |
. . . . . . . . 9
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24 | eqeq2 2462 |
. . . . . . . . 9
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25 | 23, 24 | anbi12d 717 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | rexbidv 2901 |
. . . . . . 7
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27 | 22, 26 | anbi12d 717 |
. . . . . 6
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28 | 27 | ralbidv 2827 |
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29 | 28 | elrab 3196 |
. . . 4
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30 | 17, 29 | sylib 200 |
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31 | 30 | simprd 465 |
. 2
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32 | oveq2 6298 |
. . . . . 6
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33 | id 22 |
. . . . . 6
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34 | 32, 33 | eqeq12d 2466 |
. . . . 5
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35 | oveq1 6297 |
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36 | 35, 33 | eqeq12d 2466 |
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37 | 34, 36 | anbi12d 717 |
. . . 4
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38 | oveq2 6298 |
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39 | 38 | eqeq1d 2453 |
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41 | 40 | eqeq1d 2453 |
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42 | 39, 41 | anbi12d 717 |
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43 | 42 | rexbidv 2901 |
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44 | 37, 43 | anbi12d 717 |
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45 | 44 | rspccva 3149 |
. 2
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46 | 31, 45 | sylan 474 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pr 4639 ax-un 6583 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-id 4749 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-fo 5588 df-fv 5590 df-riota 6252 df-ov 6293 df-grpo 25919 df-gid 25920 |
This theorem is referenced by: grpolid 25947 grporid 25948 grporcan 25949 grpoinveu 25950 grpoinv 25955 |
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