Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpoidinv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem grpoidinv 25936
 Description: A group has a left and right identity element, and every member has a left and right inverse. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1
Assertion
Ref Expression
grpoidinv
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem grpoidinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . . . . 8
21ralimi 2781 . . . . . . 7
3 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
4 id 22 . . . . . . . . 9
53, 4eqeq12d 2466 . . . . . . . 8
65rspccva 3149 . . . . . . 7
72, 6sylan 474 . . . . . 6
87adantll 720 . . . . 5
98adantll 720 . . . 4
10 simpl 459 . . . . . . 7
1110anim1i 572 . . . . . 6
12 id 22 . . . . . . . . . 10
1312adantrr 723 . . . . . . . . 9
1413adantr 467 . . . . . . . 8
152adantl 468 . . . . . . . . 9
1615ad2antlr 733 . . . . . . . 8
17 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
1817ralimi 2781 . . . . . . . . . 10
1918adantl 468 . . . . . . . . 9
2019ad2antlr 733 . . . . . . . 8
2114, 16, 20jca32 538 . . . . . . 7
22 grpfo.1 . . . . . . . 8
23 biid 240 . . . . . . . 8
24 biid 240 . . . . . . . 8
2522, 23, 24grpoidinvlem3 25934 . . . . . . 7
2621, 25sylancom 673 . . . . . 6
2722grpoidinvlem4 25935 . . . . . 6
2811, 26, 27syl2anc 667 . . . . 5
2928, 9eqtrd 2485 . . . 4
309, 29, 26jca31 537 . . 3
3130ralrimiva 2802 . 2
3222grpolidinv 25929 . 2
3331, 32reximddv 2863 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   crn 4835  (class class class)co 6290  cgr 25914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fo 5588  df-fv 5590  df-ov 6293  df-grpo 25919 This theorem is referenced by:  grpoideu  25937  grpoidval  25944  grpoidinv2  25946  grpomndo  26074
 Copyright terms: Public domain W3C validator