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Theorem grpoidinv 25936
Description: A group has a left and right identity element, and every member has a left and right inverse. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoidinv  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, u, G    u, X, x, y

Proof of Theorem grpoidinv
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  -> 
( u G z )  =  z )
21ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
3 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
u G z )  =  ( u G x ) )
4 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
53, 4eqeq12d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( u G z )  =  z  <->  ( u G x )  =  x ) )
65rspccva 3149 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z  e.  X  ( u G z )  =  z  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
72, 6sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
87adantll 720 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
u G x )  =  x )
98adantll 720 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( u G x )  =  x )
10 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  G  e.  GrpOp
)
1110anim1i 572 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X ) )
12 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1312adantrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X ) )
152adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
1615ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
1817ralimi 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  X  (
( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
1918adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2019ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2114, 16, 20jca32 538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) ) )
22 grpfo.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
23 biid 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  <->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
24 biid 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u  <->  A. z  e.  X  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u )
2522, 23, 24grpoidinvlem3 25934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  /\  A. z  e.  X  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( (
y G x )  =  u  /\  (
x G y )  =  u ) )
2621, 25sylancom 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )
2722grpoidinvlem4 25935 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) )  -> 
( x G u )  =  ( u G x ) )
2811, 26, 27syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  ( u G x ) )
2928, 9eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x G u )  =  x )
309, 29, 26jca31 537 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  (
( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3130ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
u  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( ( u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  ( w G z )  =  u ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
3222grpolidinv 25929 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. z  e.  X  ( (
u G z )  =  z  /\  E. w  e.  X  (
w G z )  =  u ) )
3331, 32reximddv 2863 1  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
( u G x )  =  x  /\  ( x G u )  =  x )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G x )  =  u  /\  ( x G y )  =  u ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   ran crn 4835  (class class class)co 6290   GrpOpcgr 25914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fo 5588  df-fv 5590  df-ov 6293  df-grpo 25919
This theorem is referenced by:  grpoideu  25937  grpoidval  25944  grpoidinv2  25946  grpomndo  26074
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