Theorem grpoideu 25338

Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpoideu	|- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Distinct variable groups:   x, u, G   u, X, x

Proof of Theorem grpoideu

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
2	1	grpoidinv 25337	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) )
3		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( u G z ) = z )
4	3	ralimi 2850	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
5		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( u G z ) = ( u G x ) )
6		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> z = x )
7	5, 6	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( u G z ) = z <-> ( u G x ) = x ) )
8	7	cbvralv 3084	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( u G z ) = z <-> A. x e. X ( u G x ) = x )
9	4, 8	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
10	9	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
11	9	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
12		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
13	12	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
14		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( y G z ) = ( y G w ) )
15	14	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( y G z ) = u <-> ( y G w ) = u ) )
16		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( z G y ) = ( w G y ) )
17	16	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( z G y ) = u <-> ( w G y ) = u ) )
18	15, 17	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
19	18	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
20	19	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. X /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
21	20	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
22	13, 21	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
23	1	grpoidinvlem4 25336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
24	22, 23	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
25	24	an32s 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
26	25	adantllr 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
28		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( w G x ) = ( w G u ) )
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> x = u )
30	28, 29	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( w G x ) = x <-> ( w G u ) = u ) )
31	30	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
32	31	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
33	32	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
34	33	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
35		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( u G x ) = ( u G w ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> x = w )
37	35, 36	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( u G w ) = w ) )
38	37	rspcva 3208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. X /\ A. x e. X ( u G x ) = x ) -> ( u G w ) = w )
39	38	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( u G w ) = w )
40	27, 34, 39	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> u = w )
41	40	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> u = w ) )
42	11, 41	mpand 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
43	42	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
44	10, 43	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
45	44	ex 434	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) -> ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
46	45	reximdva 2932	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> ( E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
47	2, 46	mpd 15	. 2 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
48		oveq1 6303	. . . . 5 |- ( u = w -> ( u G x ) = ( w G x ) )
49	48	eqeq1d 2459	. . . 4 |- ( u = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( w G x ) = x ) )
50	49	ralbidv 2896	. . 3 |- ( u = w -> ( A. x e. X ( u G x ) = x <-> A. x e. X ( w G x ) = x ) )
51	50	reu8 3295	. 2 |- ( E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x <-> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
52	47, 51	sylibr 212	1 |- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   ran crn 5009  (class class class)co 6296   GrpOpcgr 25315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-ov 6299  df-grpo 25320

This theorem is referenced by:  grpoidval  25345  grpoidcl  25346  grpoidinv2  25347  cnid  25480  mulid  25485  hilid  26205