Theorem grpoideu 21750

Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpoideu	|- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Distinct variable groups:   x, u, G   u, X, x

Proof of Theorem grpoideu

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
2	1	grpoidinv 21749	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) )
3		simpll 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( u G z ) = z )
4	3	ralimi 2741	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
5		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( u G z ) = ( u G x ) )
6		id 20	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> z = x )
7	5, 6	eqeq12d 2418	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( u G z ) = z <-> ( u G x ) = x ) )
8	7	cbvralv 2892	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( u G z ) = z <-> A. x e. X ( u G x ) = x )
9	4, 8	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
10	9	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
11	9	ad2antlr 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> A. x e. X ( u G x ) = x )
12		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
13	12	ralimi 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) )
14		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( y G z ) = ( y G w ) )
15	14	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( y G z ) = u <-> ( y G w ) = u ) )
16		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( z G y ) = ( w G y ) )
17	16	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( z G y ) = u <-> ( w G y ) = u ) )
18	15, 17	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
19	18	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) <-> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) )
20	19	rspcva 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. X /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
21	20	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
22	13, 21	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) )
23	1	grpoidinvlem4 21748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ E. y e. X ( ( y G w ) = u /\ ( w G y ) = u ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
24	22, 23	syldan 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
25	24	an32s 780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
26	25	adantllr 700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
27	26	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = ( u G w ) )
28		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( w G x ) = ( w G u ) )
29		id 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> x = u )
30	28, 29	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( w G x ) = x <-> ( w G u ) = u ) )
31	30	rspcva 3010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. X /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
32	31	adantll 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> ( w G u ) = u )
33	32	ad2ant2rl 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
34	33	adantllr 700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( w G u ) = u )
35		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( u G x ) = ( u G w ) )
36		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> x = w )
37	35, 36	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( u G w ) = w ) )
38	37	rspcva 3010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. X /\ A. x e. X ( u G x ) = x ) -> ( u G w ) = w )
39	38	ad2ant2lr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> ( u G w ) = w )
40	27, 34, 39	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) ) -> u = w )
41	40	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. x e. X ( w G x ) = x ) -> u = w ) )
42	11, 41	mpand 657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) /\ w e. X ) -> ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
43	42	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) )
44	10, 43	jca 519	. . . . 5 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
45	44	ex 424	. . . 4 |- ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) -> ( A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
46	45	reximdva 2778	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> ( E. u e. X A. z e. X ( ( ( u G z ) = z /\ ( z G u ) = z ) /\ E. y e. X ( ( y G z ) = u /\ ( z G y ) = u ) ) -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) ) )
47	2, 46	mpd 15	. 2 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
48		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( u = w -> ( u G x ) = ( w G x ) )
49	48	eqeq1d 2412	. . . 4 |- ( u = w -> ( ( u G x ) = x <-> ( w G x ) = x ) )
50	49	ralbidv 2686	. . 3 |- ( u = w -> ( A. x e. X ( u G x ) = x <-> A. x e. X ( w G x ) = x ) )
51	50	reu8 3090	. 2 |- ( E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x <-> E. u e. X ( A. x e. X ( u G x ) = x /\ A. w e. X ( A. x e. X ( w G x ) = x -> u = w ) ) )
52	47, 51	sylibr 204	1 |- ( G e. GrpOp -> E! u e. X A. x e. X ( u G x ) = x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   ran crn 4838  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727

This theorem is referenced by:  grpoidval  21757  grpoidcl  21758  grpoidinv2  21759  cnid  21892  mulid  21897  hilid  22616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fo 5419  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732