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Theorem grpoideu 23694
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
grpoideu  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E! u  e.  X  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
Distinct variable groups:    x, u, G    u, X, x

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
21grpoidinv 23693 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )
3 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  ( u G z )  =  z )
43ralimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  ( u G z )  =  z )
5 oveq2 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
u G z )  =  ( u G x ) )
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
75, 6eqeq12d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( u G z )  =  z  <->  ( u G x )  =  x ) )
87cbvralv 2945 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
u G z )  =  z  <->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
94, 8sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
119ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )
1312ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  A. z  e.  X  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )
14 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  (
y G z )  =  ( y G w ) )
1514eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
( y G z )  =  u  <->  ( y G w )  =  u ) )
16 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  w  ->  (
z G y )  =  ( w G y ) )
1716eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
( z G y )  =  u  <->  ( w G y )  =  u ) )
1815, 17anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u )  <->  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) ) )
1918rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u )  <->  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) ) )
2019rspcva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  X  /\  A. z  e.  X  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( (
y G w )  =  u  /\  (
w G y )  =  u ) )
2120adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) )
2213, 21sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( (
y G w )  =  u  /\  (
w G y )  =  u ) )
231grpoidinvlem4 23692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G w )  =  u  /\  ( w G y )  =  u ) )  -> 
( w G u )  =  ( u G w ) )
2422, 23syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  w  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  (
w G u )  =  ( u G w ) )
2524an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\ 
A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
w G u )  =  ( u G w ) )
2625adantllr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w G u )  =  ( u G w ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  ( u G w ) )
28 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
w G x )  =  ( w G u ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  x  =  u )
3028, 29eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( w G x )  =  x  <->  ( w G u )  =  u ) )
3130rspcva 3069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  -> 
( w G u )  =  u )
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  ->  ( w G u )  =  u )
3332ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  u )
3433adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( w G u )  =  u )
35 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
u G x )  =  ( u G w ) )
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
3735, 36eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( u G w )  =  w ) )
3837rspcva 3069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )  -> 
( u G w )  =  w )
3938ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  ( u G w )  =  w )
4027, 34, 393eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X )  /\  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )  ->  u  =  w )
4140ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x )  ->  u  =  w )
)
4211, 41mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
GrpOp  /\  u  e.  X
)  /\  A. z  e.  X  ( (
( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
w G x )  =  x  ->  u  =  w ) )
4342ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  (
w G x )  =  x  ->  u  =  w ) )
4410, 43jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  /\  A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  (
z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( ( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
4544ex 434 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  u  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  (
( y G z )  =  u  /\  ( z G y )  =  u ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) ) )
4645reximdva 2826 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( E. u  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( u G z )  =  z  /\  ( z G u )  =  z )  /\  E. y  e.  X  ( (
y G z )  =  u  /\  (
z G y )  =  u ) )  ->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) ) )
472, 46mpd 15 . 2  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
48 oveq1 6096 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  (
u G x )  =  ( w G x ) )
4948eqeq1d 2449 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( w G x )  =  x ) )
5049ralbidv 2733 . . 3  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  X  ( u G x )  =  x  <->  A. x  e.  X  ( w G x )  =  x ) )
5150reu8 3153 . 2  |-  ( E! u  e.  X  A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  <->  E. u  e.  X  ( A. x  e.  X  (
u G x )  =  x  /\  A. w  e.  X  ( A. x  e.  X  ( w G x )  =  x  ->  u  =  w )
) )
5247, 51sylibr 212 1  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  E! u  e.  X  A. x  e.  X  ( u G x )  =  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   ran crn 4839  (class class class)co 6089   GrpOpcgr 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fo 5422  df-fv 5424  df-ov 6092  df-grpo 23676
This theorem is referenced by:  grpoidval  23701  grpoidcl  23702  grpoidinv2  23703  cnid  23836  mulid  23841  hilid  24561
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