Theorem grpn0 9326

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpn0	|- (G e. Grp -> X =/= (/))

Proof of Theorem grpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . 3 |- X = ran G
2	1	grplidinv 9325	. 2 |- (G e. Grp -> E.u e. X A.x e. X ((uGx) = x /\ E.y e. X (yGx) = u))
3		rexn0 2972	. 2 |- (E.u e. X A.x e. X ((uGx) = x /\ E.y e. X (yGx) = u) -> X =/= (/))
4	2, 3	syl 12	1 |- (G e. Grp -> X =/= (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  (/)c0 2875  ran crn 3987  (class class class)co 4884  Grpcgr 9311

This theorem is referenced by:  0ngrp 9335  isga 9450  isga2 9452  gaid 9454  vcoprnelem 9529  rngn0 10400  rnplrnml3 14768

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-grp 9316

Copyright terms: Public domain