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Theorem grplmulf1o 15593
Description: Left multiplication by a group element is a bijection on any group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplmulf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplmulf1o.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplmulf1o.n  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
Assertion
Ref Expression
grplmulf1o  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x,  .+    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem grplmulf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grplmulf1o.n . 2  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  ( X  .+  x
) )
2 grplmulf1o.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplmulf1o.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 15544 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( X  .+  x
)  e.  B )
543expa 1182 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( X  .+  x )  e.  B
)
6 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
7 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
82, 7grpinvcl 15576 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B )
96, 8jca 529 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B ) )
102, 3grpcl 15544 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
11103expa 1182 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
129, 11sylan 468 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  X
)  .+  y )  e.  B )
13 eqcom 2443 . . 3  |-  ( x  =  ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  y )  <->  ( (
( invg `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x )
146adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
1512adantrl 710 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  y )  e.  B
)
16 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
17 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
182, 3grplcan 15583 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  y )  e.  B  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  (
( ( invg `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  ( X 
.+  x )  <->  ( (
( invg `  G ) `  X
)  .+  y )  =  x ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl13anc 1215 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  y )  =  x ) )
20 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
212, 3, 20, 7grprinv 15578 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  (
( invg `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2221adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( invg `  G ) `  X
) )  =  ( 0g `  G ) )
2322oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  y ) )
248adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B )
25 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
262, 3grpass 15545 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( invg `  G ) `  X
)  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `
 X ) ) 
.+  y )  =  ( X  .+  (
( ( invg `  G ) `  X
)  .+  y )
) )
2714, 17, 24, 25, 26syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( invg `  G ) `  X
) )  .+  y
)  =  ( X 
.+  ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  y ) ) )
282, 3, 20grplid 15561 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
2928ad2ant2rl 743 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  y
)  =  y )
3023, 27, 293eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  (
( ( invg `  G ) `  X
)  .+  y )
)  =  y )
3130eqeq1d 2449 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 X )  .+  y ) )  =  ( X  .+  x
)  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
3219, 31bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  X )  .+  y )  =  x  <-> 
y  =  ( X 
.+  x ) ) )
3313, 32syl5bb 257 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( ( ( invg `  G ) `  X
)  .+  y )  <->  y  =  ( X  .+  x ) ) )
341, 5, 12, 33f1o2d 6311 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    e. cmpt 4347   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539
This theorem is referenced by:  sylow1lem2  16091  sylow2blem1  16112
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