MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Unicode version

Theorem grplinv 14806
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 grpinv.u . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 grpinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  G )
51, 2, 3, 4grpinvval 14799 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  B ( y  .+  X )  =  .0.  ) )
65adantl 453 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( iota_ y  e.  B ( y 
.+  X )  =  .0.  ) )
71, 2, 3grpinveu 14794 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  .0.  )
8 riotacl2 6522 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  ->  ( iota_ y  e.  B ( y  .+  X )  =  .0.  )  e. 
{ y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B
( y  .+  X
)  =  .0.  )  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
106, 9eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0.  } )
11 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
y  .+  X )  =  ( ( N `
 X )  .+  X ) )
1211eqeq1d 2412 . . . 4  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
( y  .+  X
)  =  .0.  <->  ( ( N `  X )  .+  X )  =  .0.  ) )
1312elrab 3052 . . 3  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  <->  ( ( N `  X )  e.  B  /\  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  ) )
1413simprbi 451 . 2  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  ->  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  )
1510, 14syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E!wreu 2668   {crab 2670   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641
This theorem is referenced by:  grprinv  14807  grpinvid1  14808  grpinvid2  14809  isgrpinv  14810  grplcan  14812  grpinvinv  14813  grpsubadd  14831  grplactcnv  14842  mulgdirlem  14869  prdsinvlem  14881  imasgrp  14889  issubg2  14914  isnsg3  14929  nmzsubg  14936  ssnmz  14937  eqger  14945  divsgrp  14950  conjghm  14991  galcan  15036  cntzsubg  15090  lsmmod  15262  lsmdisj2  15269  rngnegr  15659  unitlinv  15737  isdrng2  15800  lmodvneg1  15942  psrlinv  16416  tgpconcompeqg  18094  divstgpopn  18102  grpvlinv  27318  lflnegl  29559  dvhgrp  31590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768
  Copyright terms: Public domain W3C validator