MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Structured version   Unicode version

Theorem grplinv 15577
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grplinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 grpinv.u . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 grpinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
51, 2, 3, 4grpinvval 15570 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  ) )
65adantl 463 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( iota_ y  e.  B  ( y 
.+  X )  =  .0.  ) )
71, 2, 3grpinveu 15565 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  .0.  )
8 riotacl2 6064 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  )  e. 
{ y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  .0.  )  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
106, 9eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0.  } )
11 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
y  .+  X )  =  ( ( N `
 X )  .+  X ) )
1211eqeq1d 2449 . . . 4  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
( y  .+  X
)  =  .0.  <->  ( ( N `  X )  .+  X )  =  .0.  ) )
1312elrab 3114 . . 3  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  <->  ( ( N `  X )  e.  B  /\  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  ) )
1413simprbi 461 . 2  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  ->  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  )
1510, 14syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E!wreu 2715   {crab 2717   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539
This theorem is referenced by:  grprinv  15578  grpinvid1  15579  grpinvid2  15580  isgrpinv  15581  grplcan  15583  grpinvinv  15586  grpinvssd  15596  grpsubadd  15606  grplactcnv  15617  mulgdirlem  15644  prdsinvlem  15656  imasgrp  15664  issubg2  15689  isnsg3  15708  nmzsubg  15715  ssnmz  15716  eqger  15724  divsgrp  15729  conjghm  15770  galcan  15815  cntzsubg  15847  lsmmod  16165  lsmdisj2  16172  rngnegr  16676  unitlinv  16759  isdrng2  16822  lmodvneg1  16968  psrlinv  17446  evpmodpmf1o  17985  grpvlinv  18254  tgpconcompeqg  19641  divstgpopn  19649  ogrpinv0le  26112  ogrpaddltrbid  26117  ogrpinv0lt  26119  ogrpinvlt  26120  lflnegl  32443  dvhgrp  34474
  Copyright terms: Public domain W3C validator