MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Structured version   Unicode version

Theorem grplinv 15967
Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinv.u  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
grpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grplinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinv.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 grpinv.u . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 grpinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
51, 2, 3, 4grpinvval 15960 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  ) )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( iota_ y  e.  B  ( y 
.+  X )  =  .0.  ) )
71, 2, 3grpinveu 15955 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  .0.  )
8 riotacl2 6270 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X )  =  .0.  )  e. 
{ y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  .0.  )  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0. 
} )
106, 9eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  { y  e.  B  |  ( y  .+  X )  =  .0.  } )
11 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
y  .+  X )  =  ( ( N `
 X )  .+  X ) )
1211eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( y  =  ( N `  X )  ->  (
( y  .+  X
)  =  .0.  <->  ( ( N `  X )  .+  X )  =  .0.  ) )
1312elrab 3266 . . 3  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  <->  ( ( N `  X )  e.  B  /\  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  ) )
1413simprbi 464 . 2  |-  ( ( N `  X )  e.  { y  e.  B  |  ( y 
.+  X )  =  .0.  }  ->  (
( N `  X
)  .+  X )  =  .0.  )
1510, 14syl 16 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X )  .+  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!wreu 2819   {crab 2821   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   0gc0g 14711   Grpcgrp 15924   invgcminusg 15925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929
This theorem is referenced by:  grprinv  15968  grpinvid1  15969  grpinvid2  15970  isgrpinv  15971  grplcan  15973  grpinvinv  15976  grpinvssd  15986  grpsubadd  15997  grplactcnv  16009  mulgdirlem  16037  prdsinvlem  16049  imasgrp  16057  ghmgrp  16065  issubg2  16087  isnsg3  16106  nmzsubg  16113  ssnmz  16114  eqger  16122  qusgrp  16127  conjghm  16168  galcan  16213  cntzsubg  16245  lsmmod  16564  lsmdisj2  16571  rngnegr  17111  unitlinv  17196  isdrng2  17275  lmodvneg1  17422  psrlinv  17918  evpmodpmf1o  18499  grpvlinv  18764  tgpconcompeqg  20476  qustgpopn  20484  ogrpinv0le  27538  ogrpaddltrbid  27543  ogrpinv0lt  27545  ogrpinvlt  27546  lflnegl  34279  dvhgrp  36310
  Copyright terms: Public domain W3C validator