Theorem grplcanNEW 17134

Description: Left cancellation law for groups.

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.1NEW	|- B = (base` G)
grplcan.2NEW	|- P = (+g` G)

Assertion

Ref	Expression
grplcanNEW	|- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((ZPX) = (ZPY) <-> X = Y))

Proof of Theorem grplcanNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . 6 |- ((ZPX) = (ZPY) -> (((-g` G)` Z)P(ZPX)) = (((-g` G)` Z)P(ZPY)))
2	1	adantl 424	. . . . 5 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) /\ (ZPX) = (ZPY)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPX)) = (((-g` G)` Z)P(ZPY)))
3		grplcan.1NEW	. . . . . . . . . . 11 |- B = (base` G)
4		grplcan.2NEW	. . . . . . . . . . 11 |- P = (+g` G)
5		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (0g` G) = (0g` G)
6		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (-g` G) = (-g` G)
7	3, 4, 5, 6	grplinvNEW 17129	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ Z e. B) -> (((-g` G)` Z)PZ) = (0g` G))
8	7	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ Z e. B) -> (((-g` G)` Z)PZ) = (0g` G))
9	8	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ Z e. B) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PX) = ((0g` G)PX))
10	3, 4, 6	grpinvclNEW 17127	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. GrpNEW /\ Z e. B) -> ((-g` G)` Z) e. B)
11	10	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Z e. B)) -> ((-g` G)` Z) e. B)
12		simprr 451	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Z e. B)) -> Z e. B)
13		simprl 450	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Z e. B)) -> X e. B)
14	11, 12, 13	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z) e. B /\ Z e. B /\ X e. B))
15	3, 4	grpassNEW 17107	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ (((-g` G)` Z) e. B /\ Z e. B /\ X e. B)) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PX) = (((-g` G)` Z)P(ZPX)))
16	14, 15	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Z e. B)) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PX) = (((-g` G)` Z)P(ZPX)))
17	16	anassrs 489	. . . . . . . 8 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ Z e. B) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PX) = (((-g` G)` Z)P(ZPX)))
18	3, 4, 5	grplidNEW 17120	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> ((0g` G)PX) = X)
19	18	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ Z e. B) -> ((0g` G)PX) = X)
20	9, 17, 19	3eqtr3d 1934	. . . . . . 7 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ Z e. B) -> (((-g` G)` Z)P(ZPX)) = X)
21	20	adantrl 430	. . . . . 6 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPX)) = X)
22	21	adantr 425	. . . . 5 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) /\ (ZPX) = (ZPY)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPX)) = X)
23	7	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z)PZ) = (0g` G))
24	23	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PY) = ((0g` G)PY))
25	10	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> ((-g` G)` Z) e. B)
26		simprr 451	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> Z e. B)
27		simprl 450	. . . . . . . . . 10 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> Y e. B)
28	25, 26, 27	3jca 1050	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B))
29	3, 4	grpassNEW 17107	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ (((-g` G)` Z) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B)) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PY) = (((-g` G)` Z)P(ZPY)))
30	28, 29	syldan 516	. . . . . . . 8 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> ((((-g` G)` Z)PZ)PY) = (((-g` G)` Z)P(ZPY)))
31	3, 4, 5	grplidNEW 17120	. . . . . . . . 9 |- ((G e. GrpNEW /\ Y e. B) -> ((0g` G)PY) = Y)
32	31	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> ((0g` G)PY) = Y)
33	24, 30, 32	3eqtr3d 1934	. . . . . . 7 |- ((G e. GrpNEW /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPY)) = Y)
34	33	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPY)) = Y)
35	34	adantr 425	. . . . 5 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) /\ (ZPX) = (ZPY)) -> (((-g` G)` Z)P(ZPY)) = Y)
36	2, 22, 35	3eqtr3d 1934	. . . 4 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ (Y e. B /\ Z e. B)) /\ (ZPX) = (ZPY)) -> X = Y)
37	36	exp53 419	. . 3 |- (G e. GrpNEW -> (X e. B -> (Y e. B -> (Z e. B -> ((ZPX) = (ZPY) -> X = Y)))))
38	37	3imp2 1083	. 2 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((ZPX) = (ZPY) -> X = Y))
39		opreq2 4890	. 2 |- (X = Y -> (ZPX) = (ZPY))
40	38, 39	impbid1 575	1 |- ((G e. GrpNEW /\ (X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B)) -> ((ZPX) = (ZPY) <-> X = Y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  +_gcplusg 17080  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082  -_gcminusg 17083

This theorem is referenced by:  ringlzNEW 17156

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-struct 16708  df-grpNEW 17089  df-0g 17090  df-minusg 17091

Copyright terms: Public domain