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Theorem grplcan 15595
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grplcan.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplcan.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grplcan  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem grplcan
StepHypRef Expression
1 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3 grplcan.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 grplcan.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
73, 4, 5, 6grplinv 15589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
87adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
98oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  X )
)
103, 6grpinvcl 15588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
1110adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
12 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
13 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
1411, 12, 133jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B )
)
153, 4grpass 15557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1614, 15syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  X
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
1716anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  Z )  .+  X )  =  ( ( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) ) )
183, 4, 5grplid 15573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X )  =  X )
209, 17, 193eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2120adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  X ) )  =  X )
237adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  Z )  =  ( 0g `  G ) )
2423oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  Y ) )
2510adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( invg `  G ) `  Z
)  e.  B )
26 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
27 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
2825, 26, 273jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
293, 4grpass 15557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 Z )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
3028, 29syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  Z )  .+  Y
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) ) )
313, 4, 5grplid 15573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  Y
)  =  Y )
3231adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  Y )  =  Y )
3324, 30, 323eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3433adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 Z )  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  Z
)  .+  ( Z  .+  Y ) )  =  Y )
362, 22, 353eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  X  e.  B )  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  /\  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y ) )  ->  X  =  Y )
3736exp53 617 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y )  ->  X  =  Y ) ) ) ) )
38373imp2 1202 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  ->  X  =  Y )
)
39 oveq2 6104 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( Z  .+  X )  =  ( Z  .+  Y
) )
4038, 39impbid1 203 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  X
)  =  ( Z 
.+  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551
This theorem is referenced by:  grpidrcan  15596  grpinvinv  15598  grplmulf1o  15605  grplactcnv  15629  conjghm  15782  conjnmzb  15786  sylow3lem2  16132  gex2abl  16338  rngcom  16678  rnglz  16686  lmodlcan  16969  isnumbasgrplem2  29465
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