Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplactcnv Structured version   Unicode version

Theorem grplactcnv 16010
 Description: The left group action of element of group maps the underlying set of one-to-one onto itself. (Contributed by Paul Chapman, 18-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grplact.1
grplact.2
grplact.3
grplactcnv.4
Assertion
Ref Expression
grplactcnv
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem grplactcnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3
2 grplact.2 . . . . 5
3 grplact.3 . . . . 5
42, 3grpcl 15935 . . . 4
543expa 1196 . . 3
6 simpl 457 . . . . 5
7 grplactcnv.4 . . . . . 6
82, 7grpinvcl 15967 . . . . 5
96, 8jca 532 . . . 4
102, 3grpcl 15935 . . . . 5
11103expa 1196 . . . 4
129, 11sylan 471 . . 3
13 eqcom 2476 . . . . 5
14 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
152, 3, 14, 7grplinv 15968 . . . . . . . . 9
1615adantr 465 . . . . . . . 8
1716oveq1d 6310 . . . . . . 7
18 simpll 753 . . . . . . . 8
198adantr 465 . . . . . . . 8
20 simplr 754 . . . . . . . 8
21 simprl 755 . . . . . . . 8
222, 3grpass 15936 . . . . . . . 8
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1230 . . . . . . 7
242, 3, 14grplid 15952 . . . . . . . 8
2524ad2ant2r 746 . . . . . . 7
2617, 23, 253eqtr3rd 2517 . . . . . 6
2726eqeq2d 2481 . . . . 5
2813, 27syl5bb 257 . . . 4
29 simprr 756 . . . . 5
305adantrr 716 . . . . 5
312, 3grplcan 15974 . . . . 5
3218, 29, 30, 19, 31syl13anc 1230 . . . 4
3328, 32bitrd 253 . . 3
341, 5, 12, 33f1ocnv2d 6521 . 2
35 grplact.1 . . . . . 6
3635, 2grplactfval 16008 . . . . 5
3736adantl 466 . . . 4
38 f1oeq1 5813 . . . 4
3937, 38syl 16 . . 3
4037cnveqd 5184 . . . 4
4135, 2grplactfval 16008 . . . . . 6
42 oveq2 6303 . . . . . . 7
4342cbvmptv 4544 . . . . . 6
4441, 43syl6eq 2524 . . . . 5
458, 44syl 16 . . . 4
4640, 45eqeq12d 2489 . . 3
4739, 46anbi12d 710 . 2
4834, 47mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cmpt 4511  ccnv 5004  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   cplusg 14572  c0g 14712  cgrp 15925  cminusg 15926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930 This theorem is referenced by:  grplactf1o  16011  eqglact  16124  tgplacthmeo  20470  tgpconcompeqg  20478
 Copyright terms: Public domain W3C validator