Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvpropd Structured version   Unicode version

Theorem grpinvpropd 15962
 Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same group inversion function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvpropd.1
grpinvpropd.2
grpinvpropd.3
Assertion
Ref Expression
grpinvpropd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem grpinvpropd
StepHypRef Expression
1 grpinvpropd.3 . . . . . . 7
2 grpinvpropd.1 . . . . . . . . 9
3 grpinvpropd.2 . . . . . . . . 9
42, 3, 1grpidpropd 15799 . . . . . . . 8
54adantr 465 . . . . . . 7
61, 5eqeq12d 2489 . . . . . 6
76anass1rs 805 . . . . 5
87riotabidva 6272 . . . 4
98mpteq2dva 4538 . . 3
102riotaeqdv 6256 . . . 4
112, 10mpteq12dv 4530 . . 3
123riotaeqdv 6256 . . . 4
133, 12mpteq12dv 4530 . . 3
149, 11, 133eqtr3d 2516 . 2
15 eqid 2467 . . 3
16 eqid 2467 . . 3
17 eqid 2467 . . 3
18 eqid 2467 . . 3
1915, 16, 17, 18grpinvfval 15937 . 2
20 eqid 2467 . . 3
21 eqid 2467 . . 3
22 eqid 2467 . . 3
23 eqid 2467 . . 3
2420, 21, 22, 23grpinvfval 15937 . 2
2514, 19, 243eqtr4g 2533 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cmpt 4510  cfv 5593  crio 6254  (class class class)co 6294  cbs 14502   cplusg 14567  c0g 14707  cminusg 15903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-0g 14709  df-minusg 15907 This theorem is referenced by:  grpsubpropd  15989  grpsubpropd2  15990  mulgpropd  16024  invrpropd  17196  rlmvneg  17701  matinvg  18766
 Copyright terms: Public domain W3C validator