MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvinv Structured version   Unicode version

Theorem grpinvinv 15977
Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  X )

Proof of Theorem grpinvinv
StepHypRef Expression
1 grpinvinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvcl 15967 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
61, 4, 5, 2grprinv 15969 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
73, 6syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
81, 4, 5, 2grplinv 15968 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) X )  =  ( 0g `  G ) )
97, 8eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( ( N `
 X ) ( +g  `  G ) X ) )
10 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
111, 2grpinvcl 15967 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  X )
)  e.  B )
123, 11syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  e.  B )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
141, 4grplcan 15974 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N `  ( N `  X ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( ( N `  X ) ( +g  `  G
) ( N `  ( N `  X ) ) )  =  ( ( N `  X
) ( +g  `  G
) X )  <->  ( N `  ( N `  X
) )  =  X ) )
1510, 12, 13, 3, 14syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( ( N `
 X ) ( +g  `  G ) ( N `  ( N `  X )
) )  =  ( ( N `  X
) ( +g  `  G
) X )  <->  ( N `  ( N `  X
) )  =  X ) )
169, 15mpbid 210 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930
This theorem is referenced by:  grpinv11  15979  grpinvnz  15981  grpsubinv  15983  grpinvsub  15992  grpsubeq0  15996  grpnpcan  16002  mulgneg  16032  mulgdir  16039  mulgass  16044  eqger  16123  frgpuptinv  16662  ablsub2inv  16694  mulgdi  16708  invghm  16715  ringm2neg  17116  unitinvinv  17196  unitnegcl  17202  irrednegb  17232  abvneg  17354  lspsnneg  17523  islindf4  18742  tgpconcomp  20479  archirngz  27557  archiabllem1b  27560  baerlem5amN  36914  baerlem5bmN  36915  baerlem5abmN  36916
  Copyright terms: Public domain W3C validator