MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvinv Structured version   Unicode version

Theorem grpinvinv 15608
Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvinv  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  X )

Proof of Theorem grpinvinv
StepHypRef Expression
1 grpinvinv.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvinv.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvcl 15598 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
61, 4, 5, 2grprinv 15600 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
73, 6syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
81, 4, 5, 2grplinv 15599 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) X )  =  ( 0g `  G ) )
97, 8eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  X ) ( +g  `  G ) ( N `
 ( N `  X ) ) )  =  ( ( N `
 X ) ( +g  `  G ) X ) )
10 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
111, 2grpinvcl 15598 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  X )
)  e.  B )
123, 11syldan 470 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  e.  B )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
141, 4grplcan 15605 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N `  ( N `  X ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( ( N `  X ) ( +g  `  G
) ( N `  ( N `  X ) ) )  =  ( ( N `  X
) ( +g  `  G
) X )  <->  ( N `  ( N `  X
) )  =  X ) )
1510, 12, 13, 3, 14syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ( ( N `
 X ) ( +g  `  G ) ( N `  ( N `  X )
) )  =  ( ( N `  X
) ( +g  `  G
) X )  <->  ( N `  ( N `  X
) )  =  X ) )
169, 15mpbid 210 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   0gc0g 14393   Grpcgrp 15425   invgcminusg 15426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-minusg 15561
This theorem is referenced by:  grpinv11  15610  grpinvnz  15612  grpsubinv  15614  grpinvsub  15623  grpsubeq0  15627  grpnpcan  15632  mulgneg  15660  mulgdir  15667  mulgass  15672  eqger  15746  frgpuptinv  16283  ablsub2inv  16315  mulgdi  16329  invghm  16333  rngm2neg  16704  unitinvinv  16782  unitnegcl  16788  irrednegb  16818  abvneg  16934  lspsnneg  17102  islindf4  18282  tgpconcomp  19698  archirngz  26221  archiabllem1b  26224  baerlem5amN  35380  baerlem5bmN  35381  baerlem5abmN  35382
  Copyright terms: Public domain W3C validator